Integrierbare Funktionen

Zusammenfassung

Um einen Einstieg in die Idee des Integrierens zu erhalten, wird zur Motivation erneut ein Auto betrachtet, das hier wieder mit einem Fahrtenschreiber zur Aufnahme der jeweils aktuellen Geschwindigkeit ausgestattet sein soll. Man erhält also für jeden Zeitpunkt $t$ eines Tages die gemessene momentane Geschwindigkeit $V(t)$. Ein tabellarischer Ausschnitt dieser Aufzeichnung könnte wie folgt aussehen, wobei die angegebenen Minuten ab einem festgelegten Startzeitpunkt gemessen sein mögen:

$$\begin{gathered}\displaystyle\begin{array}[]{|c||c|c|c|c|}\hline t\ [\text{min}]&126&127&128&129\\ \hline V\ [\text{km/min}]&1.0&1.2&0.9&0.7\\ \hline\end{array}\end{gathered}$$

Möchte man nun näherungsweise die zurückgelegte Wegstrecke zwischen 126 Minuten und 129 Minuten Fahrtzeit ermitteln, muss man sich lediglich an die Formel Weg ist gleich Geschwindigkeit mal Zeit erinnern und erhält so entweder

$$\begin{gathered}\displaystyle s(129)-s(126)\approx 1.0(127-126)+1.2(128-127)+0.9(129-128)=3.1\end{gathered}$$

oder

$$\begin{gathered}\displaystyle s(129)-s(126)\approx 1.2(127-126)+0.9(128-127)+0.7(129-128)=2.8,\end{gathered}$$

wobei auf die Angabe der Einheiten, hier km, verzichtet wurde. Diese beiden Resultate sind natürlich noch ziemlich ungenau und insbesondere verschieden voneinander. Möchte man genauere Ergebnisse, müsste man die jeweils aktuelle Geschwindigkeit in kürzeren Zeitabständen messen. Rechnet man dann entsprechend wie oben, bekäme man natürlich exaktere Ergebnisse für den zurückgelegten Weg. Die Fortsetzung dieses prinzipiellen Vorgehens führt dann genau zum Konzept des Integrierens.