Zusammenfassung und Ausblick

Zusammenfassung

Wir fassen die wesentlichen Prinzipien der Kategorientheorie noch einmal zusammen und geben einen Ausblick in deren Anwendungen in der algebraischen Geometrie und in der Logik. In der algebraischen Geometrie ordnet man algebraischen Varietäten Garben von auf offenen Teilmengen definierten holomorphen Funktionen zu. Eine logische Struktur wird interpretiert, indem man jeder Aussage eine Teilmenge eines Universums zuordnet, und eine Semantik ordnet diesen dann Wahrheitswerte zu (0 oder 1). Die Gesetze der Logik werden dadurch zu mengentheoretischen Beziehungen oder Booleschen Relationen. Das Gesetz vom ausgeschlossenen Dritten der klassischen Logik übersetzt sich dann in die Beziehung, dass eine solche Teilmenge und ihr mengentheoretisches Komplement das gesamte Universum aufspannen. In der intuitionistischen Logik gilt dies nicht mehr. Dort wähltt man beispielsweise als Universum einen topologischen Raum, und statt des mengentheoretischen Komplementes einer Teilmenge nimmt man nur noch die größte offene zu ihr disjunkte Teilmenge des Universums. In der Semantik möglicher Welten betrachtet man eine teilgeordnete Menge; die Morphismen werden als Übergänge zwischen möglichen Welten interpretiert. Wenn dann eine logische Formel in einer Welt wahr sein soll, so muss sie auch in allen anderen Welten, die von dieser Welt aus erreichbar sind, wahr bleiben.