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Physikalische Grundlage der FEM

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Kompaktkurs Finite Elemente für Einsteiger

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Zusammenfassung

Das Ziel der Anwendung der Finite-Elemente-Methode (FEM) ist die Berechnung einer numerischen Lösung für ein Feldproblem, wann immer eine analytische Lösung schwierig oder unmöglich ist. Um dies zu ermöglichen, muss bei der FEM das physikalische Feldproblem so umformuliert werden, dass es in ein lineares Gleichungssystem überführt werden kann, da dieses im Gegensatz zu einer partiellen Differentialgleichung mit Computern einfach lösbar ist.

In diesem Kapitel soll der erste Schritt dieses Vorgehens gezeigt werden. Hierzu wird ausgenutzt, dass viele physikalische Problemstellungen nicht nur über ihre Differentialgleichung beschrieben werden können, sondern sich zugleich als Extremwertaufgabe formulieren lassen. Beispiele hierfür sind das Prinzip vom Minimum der potentiellen Energie in der Elastostatik oder Das Prinzip der stationären Wirkung der Dynamik. Diese Extremwertprinzipien, die nachfolgend vorgestellt werden, können mathematisch mit der Variationsrechnung, die im darauffolgenden Kapitel eingeführt wird, gelöst werden.

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Notes

  1. 1.

    Im Prinzip lässt sich jede Approximation eines physikalischen Feldproblems dadurch als Extremwertaufgabe darstellen, dass ein Minimum des Approximationsfehlers gefordert wird.

  2. 2.

    Die Originalfassung, die, wie Jacobi [21, S. 110] anmerkt, nach dem heutigen Stand der Forschung nur schwer interpretierbar ist, ist in einer Veröffentlichung von Lagrange aus dem Jahre 1811 [27, S. 251] zu finden.

  3. 3.

    Dies wird auch als Forderung der kinematischen Verträglichkeit bezeichnet.

  4. 4.

    Dies wird in der Thermodynamik auch als das Prinzip vom Maximum der Entropie bezeichnet [3].

  5. 5.

    Die Beziehungen werden hier anhand des zweidimensionalen Kontinuums hergeleitet. Diese Herleitung lässt sich jedoch ohne eine Änderung des Vorgehens auf den dreidimensionalen Fall erweitern.

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Authors and Affiliations

  1. Wilhelm Büchner Hochschule Pfungstadt, Pfungstadt, Deutschland

    Manfred Hahn

  2. Universität Stuttgart, Stuttgart, Deutschland

    Michael Reck

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  1. Manfred Hahn
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Hahn, M., Reck, M. (2018). Physikalische Grundlage der FEM. In: Kompaktkurs Finite Elemente für Einsteiger. Springer Vieweg, Wiesbaden. https://doi.org/10.1007/978-3-658-22775-3_2

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