Zinsmodellierung und Zinsprodukte

Zusammenfassung

Zwar verhalten sich Zinsraten in ihrer zeitlichen Entwicklung nicht so volatil wie Aktienkurse, doch es ist eine unzulässige Annahme, sie über einen längeren Zeitraum als konstant oder deterministisch anzunehmen, gerade vor dem Hintergrund der enormen Volumen des in Zinsprodukte investierten Kapitals und der langen Laufzeiten von z.B. Altersvorsorgeprodukten.

Im Rahmen dieses Kapitels werden zunächst die grundlegenden Begriffe und Produkte am Zinsmarkt erläutert.

Im Anschluss werden die drei wesentlichen stochastischen Modellierungskonzepte,

• der Ansatz der Kassazinsratenmodellierung („Short Rate Modelle“),

• der Ansatz der Terminzinsratenmodellierung („Forward Rate Modelle“) und

• der Ansatz der Marktzinsratenmodellierung („LIBOR-Modelle“)

zusammen mit ihren Vor- und Nachteilen sowie Aspekten der Anwendung vorgestellt. Dabei werden jeweils populäre konkrete Modellrealisierungen wie z.B. das Vasicek-Modell oder das Log-Normale LIBOR-Modell als explizite Beispiele detailliert analysiert. Zusätzlich werden Haupthilfsmittel wie z.B. die Zinsstrukturgleichung und ihre explizite Lösung im Fall affin-linearer Short Rate Modelle entwickelt und populäre Formeln wie die Black’76-Formel vorgestellt.

Ein Überblick über spezielle Zinsratenmodelle, die nicht in die drei Hauptklassen passen, wie z.B. das SABR-Modell oder das nicht-lineare Modell nach Epstein und Wilmott, schließen das Kapitel ab.

Übungsaufgaben

• 1. Führe den Beweis für Proposition 2.3.3.

• 2. Führe den Beweis von Lemma 2.4.2 durch explizites Berechnen des Erwartungswerts.

• 3. Man leite die in Satz 2.4.2.1 angegebene Formel für den Preis einer Bond-Call-Option im Hull-White-Modell mit Hilfe der log-normalen Bewertungsformel her.

• 4. Man beweise, dass der Wert $C_{i}\left(t,\sigma_{i}(t)\right)$ eines zur Zeit $t_{i}$ fälligen Caplets mit Endzahlung $\delta_{i}\cdot\left(L_{i}\left(t_{i}\right)-L\right)^{+}$ im logormalen LIBOR-Modell durch

  $$ C_{i}\left(t,\sigma_{i}(t)\right)=\delta_{i}P\left(t,t_{i}\right)\left[L_{i}(t)\Phi\left(d_{1}(t)\right)-L\Phi\left(d_{2}(t)\right)\right],$$

  (2.341)
  $$ d_{1}(t)=\frac{\ln\left(\tfrac{L_{i}(t)}{L}\right)+\frac{1}{2}\bar{\sigma}^{2}_{i}(t)}{\bar{\sigma}_{i}\left(t\right)},\ d_{2}(t)=d_{1}(t)-\bar{\sigma}_{i}\left(t\right),$$

  (2.342)
  $$ \bar{\sigma}^{2}_{i}(t)=\int_{t}^{t_{i-1}}{\sigma^{2}\left(s\right)ds}$$

  (2.343)

  gegeben ist.

• 5. Diskutiere die zeitliche Entwicklung der Zinsstruktur im Vasicek-Modell, wenn die zeitliche Entwicklung unter einem subjektiven Maß $\mathbb{P}$ betrachtet wird, für das zum einen ein zusätzlicher Driftparameter $d$ durch Ersetzen von $\kappa$ durch $\tilde{\kappa}=\kappa+d$ und zum anderen durch Ersetzen von $\theta$ durch $\tilde{\theta}=\theta+d$ eingeführt wird.