Subgrade

Zusammenfassung

Seit Kapitel 6 haben wir uns auf die primitiven Permutationsgruppen $G\leq\textrm{Sym}(\Omega)$ konzentriert, die nicht 2-transitiv ist. Der Stabilisator G _ω für $\omega\in\Omega$ operiert dann intransitiv auf $\Omega\setminus\{\omega\}$. Wir zeigen in diesem Kapitel, dass die Primitivität starke Einschränkungen an die Bahnenlängen (d. h. die Subgrade) von G _ω liefert. Im ersten Teil beweisen wir zunächst einen Satz von Neumann, der das Wachstum der Subgrade nach oben beschränkt. Der Satz von Weiss hingegen liefert gemeinsame Primteiler der Subgrade. Die Beweise benutzen oft den Orbitalgraph, der für primitive Gruppen zusammenhängend ist. Als Anwendung klassifizieren wir die primitiven Permutationsgruppen vom Grad 8. Im zweiten Teil widmen wir uns den primitiven Gruppen mit vorgegebenem Subgrad. Nach einer (unterdessen bewiesenen) Vermutung von Sims gibt es in dieser Situation nur endlich viele Möglichkeiten für G _ω. Beispielsweise kann der Subgrad 2 nur für Diedergruppen auftreten. Sätze von Manning, Wielandt und Rietz untersuchen, wann G _ω treu auf einer Bahn operiert. Im letzten Teil des Kapitels beweisen wir zuerst zwei Ergebnisse über Fixpunktzahlen. Anschließend verbessern wir die Größenordnung von Bocherts Abschätzung aus Kapitel 6. Der Nachweis dieses Resultats von Babai benutzt erneut Orbitalgraphen.