Normierte Räume in der Optimierung

Zusammenfassung

Konvergenz und Grenzwerte sind grundlegende Begriffe der Mathematik. Die Grundlagenanalysis liefert dazu das Cauchy’sche Konvergenzkriterium: Im Euklidischen Raum $(\mathbb{R},d)$ mit $d(x,y)=|x-y|,\;x,y\in\mathbb{R}$ bzw. $(\mathbb{C},d) mit \;d(x,y)=|x-y|,\;x,y\in\mathbb{C}$, sind genau die Cauchy-Folgen (vgl. Definition 9.1.2) die konvergenten Folgen. Oder mit anderen Worten: Es gibt in diesen Räumen keine anderen konvergenten Folgen als die Cauchy-Folgen. Deshalb nennt man die Räume $(\mathbb{R},d)$ bzw. $(\mathbb{C},d)$) vollständig. Diese Begriffe spielen natürlich auch in allgemeineren normierten oder metrischen Räumen eine wesentliche Rolle. Wir beschäftigen uns in diesem Kapitel weiterhin mit Stützfunktionen, Variationsungleichungen, Generizität und Koerzivität.