Fazit

Zusammenfassung

Ziel dieser Arbeit war es, auf fundierte und verständliche Weise den Zusammenhang zwischen Kausalität, Analytizität und Dispersionsrelationen zu erklären. Um diesem Anspruch gerecht zu werden, wurde zunächst das Titchmarsh’sche Theorem eingehend untersucht. Aus mathematischer Sicht beschreibt dieses den Zusammenhang der drei genannten Begriffe, was zu Beginn ausführlich bewiesen wurde. Durch das Voranstellen wichtiger – im Wesentlichen funktionenheoretischer und funktionalanalytischer – Sätze konnte der Umfang dieses Kapitels dabei eingegrenzt werden, ohne hierbei grundlegende Teile des Beweises zu unterschlagen. Insbesondere die Einführung der Hardy-Räume erscheint zeitgemäß und führt zu einer wesentlichen Straffung und Strukturierung der Beweisführung. Die Sätze über Hardy-Räume wurden hierbei lediglich zitiert, ein Beweis dieser Aussagen würde sicherlich zu einem tieferen Verständnis dieser Räume führen, schien aber dem Rahmen dieser Arbeit nicht zu entsprechen. Für einen tieferen Einblick in dieses Teilgebiet der Mathematik sei auf [DA70] verwiesen. Neben dieser rein strukturellen Verbesserung wurden einzelne Schritte des Titchmarsh’schen Beweises umgeordnet, weiter ausgeführt und ergänzend kommentiert. All dies diente dazu, das Verständnis zu erleichtern. Trotz dieser Erläuterungen blieb der Beweis und somit auch der gewünschte Zusammenhang insgesamt noch sehr komplex. Die anschließenden konkreten Anwendungen und Beispiele trugen so ohne Frage zu einem tieferen Verständnis der Zusammenhänge bei.