Zusammenfassung
In diesem Beitrag wird das Konzept des Moduls Mathematisches Problemlösen und Beweisen vorgestellt, das einen problemorientierten Zugang zur Mathematik und eine ausführliche Thematisierung von Beweisen in den Mittelpunkt stellt. Das Modul eignet sich für den Einsatz am Beginn des Mathematikstudiums und bildet eine Antwort auf aktuell viel diskutierte Probleme beim Übergang von der Schule zur Hochschule. Gleichzeitig bereichert es das Mathematikstudium um wertvolle, bisher vernachlässigte Aspekte. Im vorliegenden Artikel wird nach grundsätzlichen Überlegungen zum Problemlösen und Beweisen im Studium sowie zur Studieneingangsphase das Konzept des Moduls vorgestellt und über seine Durchführung an der Universität Oldenburg in den Wintersemestern 2011/12 und 2012/13 berichtet.
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Notes
- 1.
Natürlich gibt es immer einige wenige, die schon früh weiter sehen können, aber die meisten sind von Übungsaufgaben, bei denen neuer Stoff mit eigenen Einfällen verknüpft werden muss, überfordert und bearbeiten nur die theorie‐illustrierenden Aufgaben.
- 2.
Hier sind immer Studenten des gymnasialen Lehramts gemeint. Allgemein sind mit Studenten natürlich immer Studentinnen und Studenten gemeint, genauso mit Mathematikern etc.
- 3.
Im heutigen Schulunterricht ist es weit verbreitet, Problemlösen an scheinbar anwendungsorientierten, doch häufig stark konstruierten Problemen zu betreiben. Dies ist hier ausdrücklich nicht gemeint. Es gibt auch unzählige motivierende innermathematische Probleme auf jedem Niveau, die jedenfalls für den Hochschulkontext geeigneter erscheinen.
- 4.
Auch dieser Beweis liefert eine Erkenntnis, wenn auch eine recht abstrakte und für Studienanfänger schwer nachvollziehbare: Die Erkenntnis, dass sich der Satz aus diesen Axiomen und mit dieser Definition der Stetigkeit beweisen lässt. Das Ringen mit diesem Thema lässt sich historisch belegen: Bei der Grundlegung der Analysis im 19. Jahrhundert war jedem klar, dass der Zwischenwertsatz gelten muss. Die Frage bestand darin, wie man die Grundmauern der Mathematik so anlegt, dass er beweisbar ist (s. Spalt 1988).
- 5.
Die Aussagen hier, z. B. über die Schulmathematik, sind zur Verdeutlichung der Unterschiede bewusst plakativ formuliert und entsprechen in dieser Ausprägung sicher nicht durchgehend der Realität.
- 6.
Das heißt nicht Verzicht auf Niveau. Es gibt viele elementare, schwierige Probleme, an denen man viel lernen kann.
- 7.
Dies, und die Anbindung an die Hochschulmathematik, unterscheidet MPB wesentlich von Vorbereitungskursen für mathematische Schülerwettbewerbe. MPB soll das Positive solcher Kurse mit den Ansprüchen eines Studiums verknüpfen.
- 8.
Um dies noch greifbarer zu machen, wurde in einer Vorlesung eine Lehrerin eingeladen, die über ihre Erfahrungen mit problemlöseorientiertem Unterricht und mit Beweisen in der Schule berichtete.
- 9.
Zum Beispiel der Beweis von Formeln durch vollständige Induktion. Da in der Analysis‐Vorlesung viele solche „Schema F“ Beispiele behandelt werden, wird dies in MPB nur kurz illustriert.
- 10.
Der Luxus, diese Zeit zu haben, ist der Vorteil einer methodisch orientierten Lehrveranstaltung.
- 11.
Die Akzeptanz der Lerntagebücher war anfangs gering. Einige Studierende fanden sie bis zum Semesterende überflüssig, aber es gab auch viele, die es sehr schätzten, am Ende noch einmal ihre Eintragungen vom Anfang zu lesen und ihre Fortschritte so klar vor Augen zu haben. Das Führen der Lerntagebücher war gefordert, ihre Inhalte flossen aber nicht in die Note ein.
Literatur
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Bruder, R. (2001). Kreativ sein wollen, dürfen und können. mathematik lehren, 106, 46–50.
Grieser, D. (2013). Mathematisches Problemlösen und Beweisen: Eine Entdeckungsreise in die Mathematik. Wiesbaden: Springer Spektrum.
Grieser, D. (2015). Mathematisches Problemlösen und Beweisen: Entdeckendes Lernen in der Studieneingangsphase. In J. Roth, T. Bauer, H. Koch, & S. Prediger (Hrsg.), Übergänge konstruktiv gestalten: Ansätze für eine zielgruppenspezifische Hochschuldidaktik Mathematik (S. 87–102). Wiesbaden: Springer Spektrum.
Pehkonen, E. (2001). Offene Probleme: Eine Methode zur Entwicklung des Mathematikunterrichts. Der Mathematikunterricht, 47(6), 60–72.
Pólya, G. (1949). Schule des Denkens: Vom Lösen mathematischer Probleme. Bern: Francke.
Pólya, G. (1967). Vom Lösen Mathematischer Aufgaben – Einsicht und Entdeckung, Lernen und Lehren Bd. 2. Basel: Birkhäuser.
Spalt, D. D. (1988). Das Unwahre des Resultatismus. Eine historische Fallstudie aus der Analysis. Mathematische Semesterberichte, 35, 6–36.
Winter, H. (1989). Entdeckendes Lernen im Mathematikunterricht: Einblicke in die Ideengeschichte und ihre Bedeutung für die Pädagogik. Wiesbaden: Vieweg.
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Grieser, D. (2016). Mathematisches Problemlösen und Beweisen: Ein neues Konzept in der Studieneingangsphase. In: Hoppenbrock, A., Biehler, R., Hochmuth, R., Rück, HG. (eds) Lehren und Lernen von Mathematik in der Studieneingangsphase. Konzepte und Studien zur Hochschuldidaktik und Lehrerbildung Mathematik. Springer Spektrum, Wiesbaden. https://doi.org/10.1007/978-3-658-10261-6_41
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