Verzweigungen

Zusammenfassung

Am Anfang von Kap. 7 hatten wir das Pendelmodell aus der Einleitung um einen Term erweitert, der Reibung z. B. in der Aufhängung modelliert. Die Gleichgewichte blieben gleich, die globale Struktur der Lösungen aber hatte sich dadurch signifikant verändert: statt periodischer und homokliner Lösungen hatten wir für k > 0 Lösungen erhalten, die asymptotisch gegen das Gleichgewicht $(0,0)$ konvergieren (vgl. Abb. Abb. 7.3). Aus dem (nur) stabilen Gleichgewicht wurde also für k > 0 ein asymptotisch stabiles. Umgekehrt verliert $(0,0)$ seine Stabilität, wenn wir k < 0 wählen. Physikalisch lässt sich dieser Fall als eine äußere Anregung der Pendelbewegung interpretieren, die Amplitude nimmt ständig zu und irgendwann setzt die Überschlagsbewegung ein. Die Stabilität des Gleichgewichts – und damit das Verhalten der Lösungen in seiner Nähe – hängt also vom Wert des Parameters k ab. Der Wechsel der Stabilität von $(0,0)$ bei k = 0 ist ein Beispiel einer Verzweigung, auch Bifurkation genannt.

Allgemeiner versteht man unter einer Verzweigung eines von einem „externen“ Parameter abhängigen dynamischen Systems die Änderung von qualitativen Eigenschaften seiner Lösungen bei Änderung dieses Parameters. Die Detektion (und Klassifizierung) von Verzweigungen ist in Anwendungen von größtem Interesse, da so gut wie jedes (technische) System von Parametern abhängt, deren Wahl (oder Steuerung) entscheidend das Systemverhalten beeinflussen kann.