Integralsätze

Zusammenfassung

Ausgehend vom Funktionsgraphen werden Kurven und Flächen im Raum diskutiert. Parametrisierungen werden ineinander überführt und Tangenten und Normalenvektoren betrachtet. Längen- und Flächenelemente bilden die Grundlage für Kurven- und Flächenintegrale. Anschauliche Konzepte des Wegintegrals und Flusses eines Vektorfeldes durch eine Fläche werden vorgestellt. Potenzialfelder werden durch die Wegunabhängigkeit des Integrals charakterisiert.

Die Sätze von Green, Gauß und Stokes setzen die Begriffe Fluss eines Vektorfeldes, Divergenz und Rotation in Beziehung. Beim Satz von Green wird das Integral eines ebenen Vektorfelds längs der Randkurve mit einem Integral über eine Fläche verknüpft. Beim Satz von Gauß wird der Fluss eines Vektorfelds durch die Randfläche durch das Integral der Divergenz über den Normalbereich ausgedrückt. Beim Satz von Stokes wird das Integral eines Vektorfeldes längs der Randkurve durch eine Fläche den Fluss der Rotation durch ausgedrückt.