Die Struktur von (Z/mZ)., Primitivwurzeln

Zusammenfassung

Die additive Gruppe des Restklassenrings ℤ/mℤ ist nach Definition zyklisch, ein erzeugendes Element ist die 1, d.h. addiert man 1 sukzessive zu sich selbst, so erhält man schließlich alle Elemente von ℤ/mℤ. Wie steht es mit der multiplikativen Gruppe (ℤ/mℤ)^∗? Falls (ℤ/mℤ)^∗ zyklisch ist, bedeutet dies, dass es ein Element ξ gibt, dessen Potenzen ξ^k sämtliche Elemente von (ℤ/mℤ)^∗ durchlaufen. Ein solches Element heißt Primitivwurzel. Es wird sich herausstellen, dass im Falle, dass m eine Primzahl oder Potenz einer ungeraden Primzahl ist, stets Primitivwurzeln in (ℤ/mℤ)^∗ existieren.