Mehrdimensionale Differenziation

Zusammenfassung

Bisher haben wir, was Differenzierbarkeit betrifft, nur Funktionen einer reellen Variablen betrachtet. Im einfachsten Fall handelt es sich um reellwertige Funktionen einer Variablen, also Funktionen von der Form ℝ → ℝ. In Kapitel 1 betrachteten wir allgemeine Kurven, also Abbildungen der Form ℝ → ℝ^m, wobei anstelle von ℝ^m auch ein beliebiger Banachraum stehen kann. Dies ist adäquat, wenn wir Größen betrachten, die nur von einer Variablen abhängen, wie zum Beispiel der Zeit t.

Mindestens ebenso oft hat man es jedoch auch mit Abbildungen des Typs ℝⁿ → ℝ zu tun, wo eine skalare Größe von mehreren Variablen abhängt, und noch allgemeiner Abbildungen des Typs ℝⁿ → ℝ^m, wo m ›abhängige Variablen‹ durch n ›unabhängige Variablen‹ bestimmt werden. Ein bereits bekanntes Beispiel sind lineare Gleichungssysteme. Für solche Abbildungen können wir die Ableitung allerdings nicht mehr mithilfe von Differenzenquotienten erklären, da die Division durch einen Vektor in keiner sinnvollen Weise definierbar ist – es existiert nur eine Vektorraum-, aber keine Körperstruktur.

Statt dessen charakterisieren wir Differenzierbarkeit durch Approximierbarkeit durch eine affine Abbildung. Begriffe der linearen Algebra werden dabei eine wesentliche Rolle spielen. Diese enge Verzahnung der infinitesimalen Analysis mit der linearen Algebra ist es auch, was die mehrdimensionale Differenzialrechnung bei der ersten Begegnung schwierig macht.