Differenziation

Zusammenfassung

Die Ableitung einer Funktion $f:t \mapsto f(t)$ beschreibt ihr punktuelles Veränderungsverhalten in der Nähe eines Punktes a. Genauer betrachtet man die Änderung der abhängigen Größe, f(t) − f (a), im Verhältnis zur Änderung der unabhängigen Größe, t − a, wenn t sich a nähert.

Im einfachsten Fall ist dieses Verhältnis konstant, nämlich dann, wenn es sich bei f um eine lineare oder affine Funktion der Gestalt $\alpha : t \mapsto mt + b$ handelt. Andernfalls kann man versuchen, eine solche affine Funktion zu finden, die die gegebene Funktion in der Umgebung von a am besten approximiert. Existiert eine solche bestapproximierende Gerade, so ist sie eindeutig – es handelt sich um die Tangente an den Graphen von f im Punkt a. Ihre Steigung m ist dann die Ableitung von f im Punkt a.

Diese Interpretation der Ableitung als Steigung einer bestapproximierenden Geraden werden wir später auf höhere Dimensionen verallgemeinern. Diese Steigung erscheint dort als lineare Abbildung zwischen Vektorräumen.