Komplexe Zahlen

Zusammenfassung

Wir haben bisher das Zahlengebäude

ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ

beschrieben. Von ›unten‹ betrachtet, werden die ganzen Zahlen als Erweiterung der natürlichen Zahlen eingeführt, um uneingeschränkt die Gleichung

m + x = n

innerhalb dieses Zahlensystems lösen zu können. Die rationalen Zahlen werden eingeführt, um uneingeschränkt die Gleichung

ax = b, a ≠ 0,

lösen zu können. Die rationalen Zahlen werden zu dem angeordneten Körper der reellen Zahlen vervollständigt, um unter anderem die quadratische Gleichung

x ² = a, a ≥ 0, uneingeschränkt lösen zu können.

Mehr ist allerdings auch nicht möglich! Denn in jedem angeordneten Körper gilt ja x ² ≥ 0. Eine Gleichung wie

x ² = −1

ist dort unerfüllbar. Trotzdem bleibt das Bedürfnis, auch diese Gleichung ›irgendwie zu lösen‹. Dies führt zur Erweiterung der reellen Zahlen zu den komplexen Zahlen, und damit zu einer weiteren Stufe des Zahlengebäudes

ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ ⊂ ℂ.

Dieser Erweiterungskörper ℂ kann natürlich nicht mehr angeordnet sein.