Reelle Zahlen

Zusammenfassung

Die reellen Zahlen bilden das Fundament der gesamten Analysis. Es ist daher sinnvoll, sich zunächst Klarheit über dieses Fundament zu verschaffen.

Der konstruktive – und historisch korrekte – Zugang beginnt bei den natürlichen Zahlen und führt über die Konstruktion der ganzen und der rationalen Zahlen zu den reellen Zahlen. Jedes Mal ist ein neues Zahlensystem auf dem vorangehenden aufzubauen, und es sind die gewünschten Eigenschaften nachzuweisen. Man erhält so ein tief gegründetes Fundament, doch ist die sorgfältige Ausführung langwierig, um nicht zu sagen langweilig. Auch trägt es unmittelbar wenig zum Verständnis der eigentlichen Analysis bei.

Der axiomatische – und hier beschriebene – Zugang zu den reellen Zahlen ist direkter. Er besteht darin, eine endliche Anzahl von Postulaten – die sogenannten Axiome – über die reellen Zahlen zu formulieren, die den Ausgangspunkt für alle weiteren Schlüsse bilden. Diese Axiome werden nicht weiter hinterfragt. Sie mögen evident sein, wenn man sie auf eine bestimmte Vorstellung von den reellen Zahlen bezieht. Doch mathematisch gesehen ist dies unerheblich. Diese Axiome machen keine Aussage, was die reellen Zahlen sind. Sie legen nur fest, welche Eigenschaften sie haben. Und nur diese Eigenschaften sind für alles Folgende relevant.