Numerische Verfahren zur Filterkonstruktion

Zusammenfassung

Ein Filter, dessen Frequenzantwort einer vorgegebenen Wunschfunktion folgt, wird am einfachsten durch Auswertung der Integrale (4.33) in Abschn. 4.8 bestimmt. Diese Integrale sind oft zu kompliziert aufgebaut, um direkt ausgewertet zu werden, oder die direkte Auswertung führt nur auf ein Integral, das nicht aus elementareren Funktionen zusammengesetzt ist (z. B. auf ein elliptisches Integral), d. h. diese Integrale müssen mit numerischen Methoden ausgewertet werden. Eine dieser Methoden wird in diesem Abschnitt kurz erläutert, für weitergehende Ausführungen zum Thema siehe [Stoe] oder [Henr]. Es ist also ein Integral

$$\int _{{a}}^{{b}}f(x)\text{d$x$}$$

(6.1)

numerisch auszuwerten. Als Beispiel dient der wesentliche Teil des Integrals (4.54) für n = 64, mit der Vorgabe, das Integral mit 12 korrekten Ziffern auszuwerten:

$$\int _{{0}}^{{\pi}}A(x)\cos(64x)\text{d$x$}$$

(6.2)

Die Funktion A ist nach (4.53) und mit Hilfe von (4.51) gegeben durch

$$\begin{aligned}U(x)&=\frac{1+x^{{2}}(\tau _{{\text{M}}}\tau _{{\text{L}}}+\tau _{{\text{M}}}\tau _{{\text{H}}}-\tau _{{\text{L}}}\tau _{{\text{H}}})}{(1+x^{{2}}\tau _{{\text{L}}}^{{2}})(1+x^{{2}}\tau _{{\text{H}}}^{{2}})}\\ V(x)&=x\frac{\tau _{{\text{M}}}-\tau _{{\text{L}}}-\tau _{{\text{M}}}-x^{{2}}\tau _{{\text{L}}}\tau _{{\text{M}}}\tau _{{\text{H}}}}{(1+x^{{2}}\tau _{{\text{L}}}^{{2}})(1+x^{{2}}\tau _{{\text{H}}}^{{2}})}\\ A(x)&=\sqrt{U(x)^{{2}}+V(x)^{{2}}}\end{aligned}$$

Für die Zeitkonstanten wurden die folgenden Werte eingesetzt: