Abstract
We are going to deal with random functions \(X(\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\thicksim}$}}{M})=X({{x}_{1}},...,{{x}_{n}})\) of a point \(\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\thicksim}$}}{M} \in {E_n}\) (E n : n-dimensional Euclidean space). We assume:
-
(1)
$$E\left[ X(\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\thicksim}$}}{M})\right]\equiv0.$$(1.1)
-
(2)
$$ X(\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\thicksim}$}}{M})$$
to be a second order stationary random function
-
(a)
$$E\left[ X\left( {\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\thicksim}$}}{M}}\right)X*\left(\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\thicksim}$}}{M}-\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\thicksim}$}}{N}\right)\right]=C\left[{\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\thicksim}$}}{N}}\right].$$(1.2a)
-
(b)
$$ X(\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\thicksim}$}}{M})$$(1.2b)
is continuous in quadratic mean.
-
(a)
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References
Faure, P.: Sur quelques résultats relatifs aux fonctions aléatoires stationnaires isotropes introduites dans l’étude expérimentale de certains phénomènes de fluctuations. C. R. Acad. Sci. (Paris) 244, 842 (1957). Thèse de Doctorat de 3ième cycle, Algiers, 1957.)
Faure, P.: Déduction de certaines propriétés statistiques d’une fonction aléatoire stationnaire isotrope définie dans un espace à plusieurs dimensions de l’étude de sa trace sur une courbe de cet espace. C. R. Acad. Sci. (Paris) 244, 998 (1957). Erratum 244, 1843. (These publications contain the mathematical results on the stationary and isotropic random functions.)
Picinbono, B.: Modèle statistique sugéré par la distribution de grains d’argent dans les films photographiques. C. R. Acad. Sci. (Paris) 240, 2206 (1955).
Savelli, M. Doctoral Thesis 1958.
Blanc-Lapierre, A.: Remarques sur la diffusion et sur la propagation des ondes dans les milieux aléatoires. XIV Assembly of the Union Radioscientifique Internationale, Tokyo 1963.
Chernov, Lev. A.: Wave Propagation in a Random Medium (translated from Russian by R. A. Silverman). New York: McGraw-Hill 1960.
Riesz, F., and B. S. Nagv: Leçons d’Analyse Fonctionnelle. Budapest 1963.
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Blanc-Lapierre, A., Faure, P. (1965). Stationary and Isotropic Random Functions. In: Neyman, J., Le Cam, L.M. (eds) Bernoulli 1713 Bayes 1763 Laplace 1813. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-99884-3_3
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