Integralgleichungen und Funktionalrelationen vom komplexen Faltungstypus

Zusammenfassung

Die Ergebnisse des 15. und 16. Kapitels beruhten darauf, daß die S-Transformation die reelle Faltung zweier L _a -Funktionen bzw. einer L- und einer L _a -Funktion in das Produkt der zugehörigen l-Funktionen überführt. Da nun nach 8.6 die komplexe Faltung

$$ \odot \left( {F{{\left( {\alpha ,t} \right)}^*},{\kern 1pt} \;F{{\left( {\beta ,s} \right)}^*},\;F{{\left( {\alpha + \beta ,t} \right)}^*};{F_1}{{\left( t \right)}^*},...,{F_\rho }{{\left( t \right)}^*}} \right) = Nullfunktion$$

l⁰-Funktionen (das Integral im positiven Sinn erstreckt) durch die Umkehrung der :-Transformation in das Produkt der zugehörigen L⁰-Funktionen übergeht, so kann man im Bereich der l⁰-Funktionen eine analoge Theorie der Integralgleichungen und Funktionalrelationen vom komplexen Faltungstypus aufbauen, die dadurch noch einfacher als die frühere Theorie ist, daß die Korrespondenz zwischen l⁰-Funktionen, d. h. den im Unendlichen regulären und verschwindenden Funktionen, und L⁰-Funktionen, d. h. den ganzen Funktionen vom Expo-nentialtypus, eine lückenlose und eineindeutige ist.