Wärmeübertragung

Zusammenfassung

In einem ruhenden Körper mit konstanter Dichte sind Massen- und Impulsbilanz identisch erfüllt, — vorausgesetzt, man vernachlässigt die thermische Ausdehnung — und die Energiebilanz (1.46) reduziert sich auf die Form

$$ {\rm{\rho }}\frac{{\partial {{\rm{q}}_{\rm{i}}}}}{{\partial {\rm{t}}}}{\rm{ + }}\frac{{\partial {{\rm{q}}_{\rm{i}}}}}{{\partial {{\rm{x}}_{\rm{i}}}}}{\rm{ = 0}}{\rm{.}} $$

(6.1)

Die spezifische innere Energie u ist dann auch nur eine Funktion der Temperatur. Der Wärmefluß q₁ wird durch das Fourier-Wärmeleitgesetz (2.3)₃ gegeben. Wir schreiben

$$ {\text{u = cT + }}\alpha \,\,\,\,\,{\text{und}}\,\,\,\,\,{{\text{q}}_{\text{i}}} = - \kappa \frac{{\partial {\text{T}}}}{{\partial {{\text{x}}_{\text{i}}}}} $$

(6.2)

und nehmen an, daß die spezifische Wärme c und die Wärmeleitfähigkeit κ konstant sind. Dann folgt aus (6.1) und (6.2)

$$ \frac{{\partial {\text{T}}}}{{\partial {\text{t}}}} = \lambda \frac{{{\partial ^2}{\text{T}}}}{{\partial {{\text{x}}_{\text{i}}}\partial {{\text{x}}_{\text{i}}}}},\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\text{mit}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\lambda = \frac{\kappa }{{\rho {\text{c}}}} $$

(6.3)

λ heißt die Temperaturleitfähigkeit, sie ist positiv.