Differentialgleichungen erster Ordnung

Zusammenfassung

Thema dieses Buches sind Differentialgleichungen und ihre Anwendungen. Eine Differentialgleichung stellt eine Beziehung zwischen einer Funktion und ihren Ableitungen her. Die Gleichungen

$$ \frac{dy}{dt}=3{{y}^{2}}\sin\left(t+y\right) $$

(i)

und

$$ \frac{{{d}^{3}}y}{d{{t}^{3}}}={{e}^{-y}}+t+\frac{{{d}^{2}}y}{d{{t}^{2}}} $$

(ii)

sind Beispiele von Differentialgleichungen. Die Ordnung einer Differentialgleichung ist die Ordnung der höchsten in der Gleichung vorkommenden Ableitung der Funktion y. So ist (i) eine Differentialgleichung 1. Ordnung, (ii) eine Differentialgleichung 3. Ordnung. Unter einer Lösung einer Differentialgleichung versteht man eine stetige Funktion y(t), die zusammen mit ihren Ableitungen der vorgegebenen Beziehung genügt. Zum Beispiel löst die Funktion

$$ y\left( t \right) = 2\sin t - \frac{1}{3}\cos 2t $$

die Differentialgleichung 2. Ordnung

$$ \frac{{{d}^{2}}y}{d{{t}^{2}}}+y=\cos2t $$

, denn einfaches Nachrechnen ergibt

$$ \frac{{{d^2}}}{{d{t^2}}}\left( {2\,\sin \;t - \frac{1}{3}\cos 2t} \right) + \left( {2\,\sin \;t - \frac{1}{3}\cos 2t} \right) = \left( { - 2\,\sin \;t + \frac{4}{3}\cos 2t} \right) + 2\,\sin \;t - \frac{1}{3}\cos 2t = \cos 2t $$

.