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Integralsatz, Integralformel und Potenzreihenentwicklung

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Part of the Grundwissen Mathematik book series (GRUNDWISSEN, volume 5)

Zusammenfassung

Das Zeitalter der komplexen Integration beginnt mit Cauchy. Es ist somit nur folgerichtig, daß sein Name mit nahezu jedem wichtigen Resultat dieser Theorie verknüpft ist. In diesem Kapitel werden die Cauchyschen Hauptsätze in ihrer einfachsten Form hergeleitet und ausführlich diskutiert (Paragraphen 1 und 2). Als wichtigste Anwendung zeigen wir im Paragraphen 3, daß holomorphe Funktionen lokal in Potenzreihen entwickelbar sind. „Ceci marque un des plus grands progrès qui aient jamais été réalisés dans l’Analyse“ ([Lin], S. 9/10). Als Folgerung aus dem Entwicklungssatz von Cauchy-Taylor beweisen wir in 3.3 sofort den für viele Überlegungen unentbehrlichen Riemann-schen Fortsetzungssatz. Im Paragraphen 4 besprechen wir weitere Konsequenzen des Entwicklungssatzes. In einem abschließenden Paragraphen betrachten wir die Taylorreihen der speziellen Funktionen z cotz, tan z, z(sin z)-1 um den Nullpunkt, die Koeffizienten dieser Reihen sind durch die sog. Bernoullischen Zahlen bestimmt. „La développement de Taylor rend d’importants services aux mathematiciens“ (J. Hadamard 1892).

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Copyright information

© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1984

Authors and Affiliations

  1. 1.Mathematisches InstitutUniversität MünsterMünsterDeutschland

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