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Elementar-transzendente Funktionen

Chapter
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Part of the Grundwissen Mathematik book series (GRUNDWISSEN, volume 5)

Zusammenfassung

In diesem Kapitel werden die klassischen transzendenten Funktionen besprochen, die schon Euler in seiner Introductio [E] behandelt hat. Im Zentrum steht die Exponentialfunktion, die sowohl durch ihre Differentialgleichung als auch durch ihr Additionstheorem bestimmt ist (Paragraph 1). Im Paragraphen 2 beweisen wir mittels Differenzen unter Heranziehung der logarithmischen Reihe direkt, ohne irgendwelche Anleihen bei der reellen Analysis zu machen, daß die Exponentialfunktion einen Homomorphismus der additiven Gruppe ℂ auf die multiplikative Gruppe ℂ× definiert. Dieser Epimorphiesatz ist grundlegend für alles weitere, er führt z.B. sofort zur Einsicht, daß es eine eindeutig bestimmte positive reelle Zahl π gibt, so daß exp z genau für die Zahlen 2nπi, n, den Wert 1 hat. Damit ist die Kreiszahl „auf natürliche Weise im Komplexen“ eingeführt.

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© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1984

Authors and Affiliations

  1. 1.Mathematisches InstitutUniversität MünsterMünsterDeutschland

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