Zusammenfassung
In diesem Kapitel werden die klassischen transzendenten Funktionen besprochen, die schon Euler in seiner Introductio [E] behandelt hat. Im Zentrum steht die Exponentialfunktion, die sowohl durch ihre Differentialgleichung als auch durch ihr Additionstheorem bestimmt ist (Paragraph 1). Im Paragraphen 2 beweisen wir mittels Differenzen unter Heranziehung der logarithmischen Reihe direkt, ohne irgendwelche Anleihen bei der reellen Analysis zu machen, daß die Exponentialfunktion einen Homomorphismus der additiven Gruppe ℂ auf die multiplikative Gruppe ℂ× definiert. Dieser Epimorphiesatz ist grundlegend für alles weitere, er führt z.B. sofort zur Einsicht, daß es eine eindeutig bestimmte positive reelle Zahl π gibt, so daß exp z genau für die Zahlen 2nπi, n∈ℤ, den Wert 1 hat. Damit ist die Kreiszahl „auf natürliche Weise im Komplexen“ eingeführt.
Post quantitates exponentiates considerari debent arcus circulares eorumque sinus et cosinus, quia ex ipsis exponentialibus, quando imaginariis quantitatibus involuntur, proveniunt*) (L. Euler, Introductio).
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© 1984 Springer-Verlag Berlin Heidelberg
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Remmert, R. (1984). Elementar-transzendente Funktionen. In: Funktionentheorie I. Grundwissen Mathematik, vol 5. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-96793-1_7
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DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-642-96793-1_7
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