Mengenlehre und Mathematik

Zusammenfassung

Am 7. Dezember 1873 entwuchs die Mengenlehre den Kinderschuhen. An diesem Tag nämlich bewies Georg Cantor, daß die Menge der reellen Zahlen überabzählbar ist, also nicht in „abzählender“ Gestalt }r ₀, r ₁, r ₂,...{ geschrieben werden kann [2, S. 115 ff.]. Er legte damit zu einem Zeitpunkt, als der Begriff des aktual Unendlichen, die Existenz unendlicher Mengen als fertiger Gesamtheiten, in der Mathematik noch kontrovers war, den Grundstein zur Theorie der unendlichen Mächtigkeiten. 1878 zeigte er, daß das lineare Kontinuum der reellen Zahlen bijektiv auf die höherdimensionalen Kontinua Ebene, Raum,... abgebildet werden kann, daß demnach die Kontinua verschiedener Dimension gleichmächtig sind [2, S. 119 ff.]. Mit diesem unerwarteten Resultat gab er den Anstoß zur Entwicklung der Dimensionstheorie. In der Folgezeit führten ihn Untersuchungen über die Bildung H(A) der Menge der Häufungspunkte einer reellen Zahlenmenge A, indem er den Bildungsprozeß gemäß

$$ {A^{\left( {\text{0}} \right)}}{\kern 1pt} :{\kern 1pt} = \,A,\quad {A^{\left( 1 \right)}}{\kern 1pt} :{\kern 1pt} = \,H\left( A \right),\quad ...,\quad {A^{\left( {n + 1} \right)}}{\kern 1pt} :{\kern 1pt} = \,H\left( {{A^{\left( n \right)}}} \right),..., $$

$${A^{\left( \infty \right)}}{\kern 1pt} :{\kern 1pt} = \;\mathop \cap \limits_{n \in {\text{{\rm N}}}} \,{A^{\left( n \right)}},\quad {A^{\left( {\infty + 1} \right)}}{\kern 1pt} :{\kern 1pt} = \,H\left( {{A^{\left( \infty \right)}}} \right),... $$

ins Transfinite fortsetzte, zur Schöpfung der Theorie der transfiniten Ordinalzahlen [2, S. 145 ff.]. Anknüpfungspunkt war dabei eine Arbeit über den Identitätssatz für trigonometrische Reihen [2, S. 92 ff.], ein Umstand, den Zermelo [2, S. 102] zum Anlaß nimmt, „in der Theorie der trigonometrischen Reihen die Geburtsstätte der Cantorschen ‚Mengenlehre‘ zu erblicken“.

Gesetzt, es gebe eine große nützliche mathematische Wahrheit, auf die der Erfinder durch einen offenbaren Trugschluß gekommen wäre; — wenn es dergleichen nicht gibt, so könnte es doch dergleichen geben — leugnete ich darum diese Wahrheit, entsagte ich dann, mich dieser Wahrheit zu bedienen? (Lessing, Theologische Streitschriften)