Die projektiven Maßbestimmungen

  • Felix Klein
Part of the Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften book series (GL, volume 26)

Zusammenfassung

Der projektiven Geometrie, die wir uns nach dem Vorbild des vorigen Kapitels aufgebaut denken, können wir eine euklidische Maßbestimmung aufprägen, indem wir in der Ebene ein nullteiliges Punktepaar: \(x_1^2 + x_2^2 = 0,x_3 = 0\) bzw. im Raum einen nullteiligen Kegelschnitt: \(x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = 0,x_4 = 0\) auszeichnen und die metrischen Begriffe nach Kapitel IV in bezug auf dieses Gebilde festlegen3).

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Literatur

  1. 1).
    Vgl. Klein, Ges. Abh., Bd. I, S. 241 ; ferner S. 251, 303, 306, 330.Google Scholar
  2. 3).
    Hierbei erhalten wir allerdings im allgemeinen nur ein projektives Abbild der uns gewohnten euklidischen Geometrie, d. h. derjenigen euklidischen Geometrie, die dem Verhalten der Gegenstände in der Außenwelt entspricht. Da aber dieses projektive Bild die eigentliche euklidische Geometrie umkehrbar eindeutig wiedergibt, bezeichnen wir die durch unser Verfahren festgelegte Maßbestimmung ebenfalls als euklidisch. — Weiter wollen wir nochmals darauf hinweisen, daß bei dieser Begründung der euklidischen Maßbestimmung die Benutzung des Imaginären nur ein analytisches Hilfsmittel ist. Denn es wird etwa zwei reellen Punkten eine reelle Entfernung zugeordnet, die nur durch eine durch das Imaginäre laufende Rechnung ermittelt wird (vgl. S. 46).Google Scholar
  3. 1).
    Der Leser möge sich davon überzeugen, daß diese Formeln die Entfernung bzw. den Winkel ebenfalls nur bis auf das Vorzeichen und Vielfache von 2 c πi festlegen (vgl. S. 164).Google Scholar
  4. 1).
    Diese von Klein eingeführte Bezeichnungsweise schließt sich dem in der Geometrie üblichen Sprachgebrauch an. So bezeichnet man z. B. die Punkte einer Fläche als hyperbolisch oder elliptisch oder parabolisch, je nachdem die zugehörigen Haupttangenten reell oder imaginär sind oder zusammenfallen. In derselben Weise klassifiziert Steiner die Involutionen nach den Realitätsverhältnissen der Doppelpunkte usw. Klein, Ges. Math. Abh. Bd. I, S. 258.Google Scholar
  5. 1).
    Eine genaue Klassifizierung aller dieser Maßbestimmungen, auch für den Fall einer n-dimensionalen Mannigfaltigkeit, findet man in der Arbeit von Sommer-ville: Classification of Geometries with Projektive Metric, Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society, Vol. 2, 1910. Indem Sommerville weiter die möglichen Einteilungen in eigentliche und uneigentliche Gebiete usw. berücksichtigt, erhält er in einer n-dimensionalen Mannigfaltigkeit gerade 3n verschiedene Maßbestimmungen.Google Scholar
  6. 1).
    In Kapitel IV, S. 148 hatten wir den Radius r = 2 ce der Kugel, aus der wir die elliptische Geometrie ableiteten, gleich 1 angenommen, also in der Tat ce = 1/2 gesetzt.Google Scholar
  7. 1).
    Die Definition von ChE findet sich S. 196.Google Scholar
  8. 1).
    Math. Ann. Bd. 39, 1891- Vgl. Klein: Ges. Abh. Bd. I, S. 282.Google Scholar

Copyright information

© Springer-Verlag Berlin · Heidelberg 1967

Authors and Affiliations

  • Felix Klein

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