Zusammenfassung
In Kapitel VI werden wir auf jedes der Gebilde zweiten Grades, die in den drei Tabellen S. 70 (gerade Linie), S. 85 (Ebene) und S. 92 (Raum) angegeben sind, eine Maßbestimmung gründen. Unter diesen werden sich als Speziallfälle die euklidische und die nichteuklidischen Geometrien befinden. Die Kollineationen, die das betreffende Gebilde zweiten Grades in sich überführen, stellen hierbei (im allgemeinen) die starren Transformationen dieser Maßbestimmungen dar (vgl. S. 86). Wir wollen daher jetzt die Theorie dieser Kollineationen entwickeln, um sie später sogleich zur Hand zu haben.
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Literatur
Die hier angegebene Einteilung der Gebilde zweiten Grades, die für die folgenden Überlegungen von besonderer Bedeutung ist, war im wesentlichen bereits Clebsch geläufig. (Clebsch-Lindemann: Vorlesungen über Geometrie.) Die vollständige Berücksichtigung aller Fälle findet sich bei Sommerville: Classification of Geometries with Projektive Metric. Proceedings of the Edinburgh Math. Soc. Bd. 2, 1910.
In Zukunft werden wir öfters einfach von eigentlichen und uneigentlichen Kollineationen sprechen ; wir heben aber hervor, daß dieser Ausdruck nur in bezug auf ein gegebenes quadratisches Gebilde, das invariant bleiben soll, einen Sinn besitzt; der Unterschied zwischen Kollineationen von positiver und negativer Determinante (S. 23) ist ein ganz andersartiger.
Diese Substitutionen spielen in der Mathematik eine besonders wichtige Rolle; sie werden als ternäre orthogonale Substitutionen bezeichnet.
Das heißt nach S. 46, daß diese Kollineationen von 6 bzw. 3 reellen Parametern abhängen.
Die Determinanten D, deren Vorzeichen hier ausschlaggebend sind, beziehen sich auf die im Text angegebenen speziellen Parameterdarstellungen; wenn wir auch andersartige Parameterdarstellungen zulassen, wird das Vorzeichen der zu einer festen Kollineation gehörigen Determinante D in Übereinstimmung mit S. 23 unbestimmt.
Das Außengebiet ist genau wie die ganze projektive Ebene einseitig.
Das invariante Dreieck einer Kollineation ist ein Tangentialdreieck des gegebenen Kegelschnittes, das aber bei den ovalen Kurven andere Realitäts-eigenschaften als die auf S. 98 betrachteten Tangentialdreiecke besitzen kann (vgl. S. 105).
Auch hier besitzt die Unterscheidung zwischen eigentlichen und uneigentlichen Kollineationen nur einen Sinn in bezug auf ein gegebenes invariantes quadratisches Gebilde (vgl. die Anmerkung S. 94). Allgemein können wir in Mannigfaltigkeiten von ungerader Dimensionenzahl (z. B. gerade Linie und Raum) stets zwischen derartigen eigentlichen und uneigentlichen Kollineationen unterscheiden, während wir in Mannigfaltigkeiten von gerader Dimensionenzahl (z. B. der Ebene) im komplexen Gebiet nur eine einzige zusammenhängende Schar von Kollineationen eines quadratischen Gebildes in sich erhalten. Denn die höchstdimensionalen Grundgebilde, die auf einer nicht ausgearteten Hyperfläche zweiten Grades liegen, bilden in Mannigfaltigkeiten von gerader Dimensionenzahl eine einzige Schar, während sich bei ungerader Dimensionenzahl zwei verschiedene Scharen ergeben (vgl. S. 80) ; im letzten Fall können daher die beiden Scharen durch die betrachteten Kollineationen entweder vertauscht werden oder nicht, während bei gerader Dimensionenzahl diese Unterscheidungsmöglichkeit fortfällt.
Die Kollineationen einer nullteiligen Fläche in sich, die eine besondere Wichtigkeit besitzen, werden auch als quaternäre orthogonale Substitutionen bezeichnet (vgl. die Anmerkung 1 auf S. 102).
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Klein, F. (1967). Die Kollineationen, die ein Gebilde zweiten Grades in sich überführen. In: Rosemann, W. (eds) Vorlesungen über Nicht-Euklidische Geometrie. Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol 26. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-95026-1_3
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