Advertisement

Theorie der konformen Abbildung

  • Werner von Koppenfels
  • Friedemann Stallmann
Part of the Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften book series (GL, volume 100)

Zusammenfassung

Gegeben sei in der Ebene ein kartesisches Koordinatensystem. Wir ordnen jedem Punkt mit den Koordinaten x, y (die Koordinatenachsen mögen so liegen, wie es in Abb. 1 angegeben ist) die komplexe Zahl
$$ z = x + iy $$
zu. Die Gesamtheit der so bezeichneten Punkte heißt komplexe Zahlenebene; die x-Achse wird als reelle, die y-Achse als imaginäre z-Achse bezeichnet.

Preview

Unable to display preview. Download preview PDF.

Unable to display preview. Download preview PDF.

Literatur

  1. 1.
    Vektorprodukt hier im Sinne des äußeren Produkts Grassmanns verstanden, das in der Ebene ein Skalar ist. Faßt man die hier betrachteten Vektoren als Vektoren im Raum auf, so gibt die hier definierte Größe die einzige von Null verschiedene räumliche Komponente des Vektorprodukts im Raum. Vgl. hierzu etwa E. Sperner: Einführung in die analytische Geometrie. S. 175 ff. Göttingen 1948.Google Scholar
  2. 1.
    Es sei noch bemerkt, daß die Deutung der Multiplikation komplexer Zahlen als Drehstreckung invariant gegenüber orthogonalen Transformationen (Drehungen) des Koordinatensystems ist; aufgefaßt als Relation zwischen Punkten hat sie diese Eigenschaft nicht. (Vgl. auch die Bemerkungen am Schluß von 1.2.)Google Scholar
  3. 3.
    Gewisse Analogien zu den komplexen Zahlen zeigen in diesem Sinne die Quaternionen Hamiltons. In der Tat lassen sich diese, ähnlich wie die komplexen Zahlen in der Ebene, zum Aufbau der Potentialtheorie des Raumes benutzen. Da bei ihnen das kommutative Gesetz der Multiplikation nicht gilt, werden die Rechnungen so kompliziert, daß sich hieraus für die Anwendungen kein Vorteil ergibt.Google Scholar
  4. 1.
    Um Mißverständnisse zu vermeiden sei bemerkt, daß der Rand eines Gebietes nicht notwendig aus Kurven zusammengesetzt sein muß, vielmehr sind wesentlich kompliziertere Ränder denkbar. Für die Praxis sind jedoch nur die durch Kurven berandeten Gebiete interessant und ich habe daher die Definition des n-fachen Zusammenhangs nur für diesen Fall angegeben.Google Scholar
  5. 1.
    Die Rotation sei hier in demselben Sinne als skalaře Größe aufgefaßt wie das Vektorprodukt (1.2.2). Vgl. die Fußnote 1, S. 3.Google Scholar
  6. 1.
    Durch den Punkt über der Variablen wird wie üblich die Ableitung nach t bezeichnet.Google Scholar
  7. 1.
    Hierbei ist wesentlich vorausgesetzt, daß der betrachtete Bereich einfach zusammenhängend ist. Mehrfach zusammenhängende Bereiche müssen, wie in 2.1 gezeigt wurde, durch Querschnitte zu einem einfach zusammenhängenden Bereich gemacht werden. Der Integrationsweg darf dann die Querschnitte nicht überschreiten.Google Scholar
  8. 1.
    Man beachte die Festsetzung der uv-Richtungen zu Beginn von 2.2.Google Scholar
  9. 1.
    Die Besonderheiten, die an den Stellen mit w’ (z) = 0 auftreten, werden wir an speziellen Beispielen studieren (vgl. § 6). Im übrigen gelten die in Fußnote 1, S. 16 gemachten Bemerkungen.Google Scholar
  10. 1.
    Man bezeichnet solche von Stromlinien eingeschlossene Streifen gelegentlich als Stromröhren.Google Scholar
  11. 1.
    Hierbei ist auch der Fall miterfaßt, daß das Profil mit gleichbleibender Geschwindigkeit geradlinig in einer ruhenden Flüssigkeit bewegt wird. Man führt dann ein Koordinatensystem ein, das mit dem Profil mitbewegt wird.Google Scholar
  12. 1.
    Man beachte in Abb. 17, daß nach unseren Festsetzungen zu Beginn von 2.2 der Vektor w und der Punkt w spiegelbildlich bezüglich der reellen Achse liegen müssen. Nur dann ist w(z) regulär analytisch und gleich der Ableitung W’(z). Google Scholar
  13. 1.
    In § 13 werden wir eine Methode kennenlernen, um den Kanal direkt auf den Streifen abzubilden. Mathematisch sind natürlich beide Methoden völlig äquivalent.Google Scholar
  14. 2.
    Helmholtz, H.: Über diskontinuierliche Flüssigkeitsbewegungen, M. B. Preußische Akademie 1868, 215–228Google Scholar
  15. 2a.
    abgedruckt in Ostwalds Klassikern Nr. 79.Google Scholar
  16. 3.
    Siehe etwa A. Sommerfeld: Vorlesungen über theoretische Physik. II. S. 82. Wiesbaden 1947.MATHGoogle Scholar
  17. 1.
    Siehe etwa A. Sommerfeld: a. a. O. S. 231 ff.Google Scholar
  18. 2.
    In Wirklichkeit vermischt sich das Totwasser nach einiger Zeit mit der Strömung, so daß die Verhältnisse nur in der Nähe der Ablösungsstelle einigermaßen richtig wiedergegeben werden.Google Scholar
  19. 1.
    Ich führe dies in 13.4 noch näher aus. Vgl. auch 11.5.Google Scholar
  20. 1.
    Es handelt sich hier um Polygone mit inneren Windungspunkten. Näheres siehe 13.4. Vgl. auch 5.1.Google Scholar
  21. 2.
    In den Ecken des Polygons wird ω(z) im allgemeinen nicht mehr regulär analytisch sein.Google Scholar
  22. 1.
    Gauss(Werke 4, 189) hat gezeigt, daß das System (4.1.14) auf eine gewöhnliche Differentialgleichung zurückgeführt werden kann, wenn die Fläche analytisch ist, d. h. für ihre Parameterdarstellung analytische Funktionen gewählt werden können. Über die Lösbarkeit nur unter Differenzierbarkeitsvoraussetzungen s. L. Lichtenstein, Bull. Acad. Cracovie 1916, 192–217.Google Scholar
  23. 2.
    Hierzu ist allerdings notwendig, daß die Zuordnung der Wertepaare u, v zu den Punkten der Fläche umkehrbar eindeutig ist. Für ein hinreichend kleines Teilgebiet der Fläche läßt sich das immer erreichen.Google Scholar
  24. 3.
    Es kann sich dabei um die gleichen oder auch um zwei verschiedene Flächen handeln.Google Scholar
  25. 1.
    Es genügt, eine Lösung u, v dieser Differentialgleichungen zu bestimmen. Alle weiteren sind dann analytische Funktionen dieser speziellen Lösung w =u + iv. Google Scholar
  26. 2.
    Man beachte, daß zu der harmonischen Funktion φ (z) die Funktion — log ϱ konjugiert ist.Google Scholar
  27. 1.
    Unendlich fern deshalb, weil der Punkt Q der Ebene um so weiter vom Nullpunkt entfernt ist, je näher P am Südpol liegt.Google Scholar
  28. 1.
    Umgebung soll hier in dem etwas erweiterten Sinne verstanden werden, daß nicht nur die Kreisscheiben (2.1.2), sondern jede Punktmenge, die mindestens eine solche Kreisscheibe enthält, eine Umgebung darstellt.Google Scholar
  29. 2.
    Man kann auch von vornherein statt den Punkten der Ebene den Punkten der Kugel nach (4.2.7) umkehrbar eindeutig komplexe Zahlen (einschl. ∞) zuordnen. Man spricht dann von der Zahlenkugel im Gegensatz zu der in 1.1 eingeführten Zahlenebene. Auf ihr lassen sich viele Sätze der geometrischen Funktionentheorie besonders einfach aussprechen und veranschaulichen, da hier die oft lästige Sonderstellung des Punktes ∞ fortfällt.Google Scholar
  30. 1.
    Auf dem Torus läßt sich nicht jede einfache geschlossene Kurve auf einen Punkt zusammenziehen, z. B. nicht die Kurven u = const. und v = const.Google Scholar
  31. 1.
    Diese Verbindung muß alle übrigen Blätter durchdringen (vgl. Abb. 29).Google Scholar
  32. 1.
    Jedoch nur als Ganzes genommen, nicht Punkt für Punkt wie bei der Spiegelung.Google Scholar
  33. 2.
    Als Kreisbüschel wird in der analytischen Geometrie die Gesamtheit von Kreisen bezeichnet, die auf zwei voneinander verschiedenen Kreisen (bzw. Geraden) senkrecht stehen. Vgl. Caratheodory, Funktionentheorie I, S. 46ff, Basel 1950.Google Scholar
  34. 1.
    Auf der Kugel bedeutet ja, wie wir gesehen haben, w = z -1 eine Drehung um 180° um diese beiden Punkte.Google Scholar
  35. 2.
    Auf der Kugel stellt dieses Kreisnetz ein geographisches Koordinatennetz mit den Polen bei ± 1 dar. Die Orthokreise sind auf der Kugel Breitenkreise, die Kreise durch ± 1 die Meridiane dieses Systems.Google Scholar
  36. 1.
    Eine additive Konstante bedeutet für das Potential W (z) nur eine Änderung des Ausgangspunktes z 0 im Integral (2.2.13).Google Scholar
  37. 2.
    Auf der Kugel bedeutet bereits die einfache Quellströmung W = log z eine Quellsenkenströmung; da die Flüssigkeit sich nicht im Unendlichen verlieren kann, muß sie dort im Südpol wieder zusammenströmen. Ebenso läßt sich die Parallelströmung auf der Kugel als Dipolströmung im Südpol auffassen.Google Scholar
  38. 1.
    Die Reihenfolge der Hilfsabbildungen kann natürlich auch vertauscht werden, w = τ 2, τ = z -1 . Hieraus erkennt man, daß die in Abb. 30 dargestellten gleichseitigen Hyperbeln bei der Abbildung τ = z -1 in Lemniskaten übergehen.Google Scholar
  39. 2.
    Wie in Fußnote 1 läßt sich durch Änderung der Reihenfolge der Hilfsabbildungen zeigen, daß die Parabeln von Abb. 31 durch die Abbildung w = t -1 in Kardioiden übergehen.Google Scholar
  40. 1.
    Vgl. die Überlegungen am Schluß von 4.2.Google Scholar
  41. 1.
    Der hier auszuschließende Fall c = 0 stellt eine ganz lineare Abbildung dar.Google Scholar
  42. 2.
    Die Bezeichnungen hyperbolisch, elliptisch und parabolisch sollen gewisse Analogien zu den quadratischen Gleichungen zum Ausdruck bringen, die Hyperbeln, Ellipsen und Parabeln in der Ebene darstellen.Google Scholar
  43. 1.
    Am einfachsten macht man sich dies klar an dem speziellen Paar 0, ∞. Der Spiegelpunkt zum Punkt ∞ ist stets der Mittelpunkt des Kreises. Alle Kreise, für die 0 und ∞ Spiegelpunkte sind, müssen den Nullpunkt als Mittelpunkt haben, sie sind also konzentrische Kreise um den Nullpunkt. Durch eine gebrochen lineare Abbildung kann dann 0 und ∞ nach zwei beliebigen Punkten z 0 und z* 0 gebracht werden und das Büschel konzentrischer Kreise geht dabei in ein anderes Kreisbüschel über.Google Scholar
  44. 1.
    Wir können durch eine gebrochen lineare Funktion den Kreis durch die vier Spiegelpunkte so auf die reelle Achse abbilden, daß z 1 in den Nullpunkt, z 2 in den Punkt 1 und z* 1 in den Punkt ∞ übergeht. Dann geht z* 2 in eine positiv reelle Zahl > 1 über und das Doppelverhältnis, das sich ja bei dieser Abbildung nicht ändert, wird positiv reell.Google Scholar
  45. 2.
    Die letzte Ungleichung von (7.3.3) entspricht dem für die gewöhnliche Entfernungsdefinition gültigen Satz, daß in einem Dreieck die Summe zweier Seiten größer ist als die dritte Seite. Diese Beziehung wird daher als Dreiecksungleichung bezeichnet.Google Scholar
  46. 3.
    Siehe etwa F. Klein: Vorlesungen über nichteuklidische Geometrie. Berlin 1928.Google Scholar
  47. 1.
    γ kann keine Funktion von z sein, weil der Imaginärteil von γ wegen (7.3.8) gleich Null sein muß. Eine analytische Funktion mit konstantem Imaginärteil kann aber wegen der Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen (2.2.18) nur eine Konstante sein.Google Scholar
  48. 1.
    Diese Beziehung muß mit der in (4.2.2) gegebenen Definition von ds übereinstimmen, wovon man sich anhand von (4.2.7) durch Nachrechnen überzeugen kann.Google Scholar
  49. 1.
    Hierbei ist vorausgesetzt, daß P Q nicht parallel zu s liegt. Die Konstruktion bleibt auch in diesem Falle richtig.Google Scholar
  50. 2.
    Ist K1 eine Gerade, so entspricht dem die Gerade durch M 2, die auf K1 senkrecht steht. Vgl. Abb. 49.Google Scholar
  51. 1.
    Hierbei ist vorausgesetzt, daß z 1 , z 2 auf der einen, z’ 1 , z’ 2 auf der anderen Seite liegen, vom gemeinsamen Mittelpunkt der Kreise aus gerechnet. Im anderen FallGoogle Scholar
  52. erhalten wir den „Nebenwinkel“π — i log r 1/r 2.Google Scholar
  53. 1.
    Hierbei ist zu berücksichtigen, daß der Punkt w = ∞ als ein einziger Punkt gilt. Man veranschauliche sich den Verlauf des Schlitzes auf der Kugel, wo er ohne Unterbrechung über den Südpol hinweg von w = 1 nach w = — 1 läuft.Google Scholar
  54. 1.
    Man kann die Kurven x = const. und y = const. natürlich auch wieder direkt mit Hilfe des Additionstheorems der Tangensfunktion bestimmen.Google Scholar
  55. 2.
    Siehe etwa K. Knopp: Funktionentheorie II (Sammlung Göschen 703). Berlin 1944, S. 41 f.Google Scholar
  56. 1.
    Um Konvergenzschwierigkeiten zu vermeiden, hat man in dieser Reihe für die logarithmischen Glieder jeweils die Hauptwerte zu wählen; nachträglich kann man dann noch ein Glied der Form 2n π i addieren. Die Reihe leitet sich her von der bekannten Produktentwicklung für sin z und cos z. Siehe hierzu K. Knopp a. a. O., S. 26ff.Google Scholar
  57. 1.
    Da U(z) mit seinen Ableitungen auf dem betrachteten Bereich stetig ist, ist die Vertauschung der Integrationsreihenfolge erlaubt.Google Scholar
  58. 1.
    Vgl. auch den Satz am Schluß von 10.1.Google Scholar
  59. 2.
    In der reellen Potentialtheorie wird als Greensche Funktion der Realteil der hier und im folgenden erklärten Funktion Γ(ζ, ζ 0) bezeichnet. Im Zusammenhang mit der konformen Abbildung, die ja wesentlich der komplexen Funktionentheorie zugehört, erscheint es zweckmäßig (auch im Hinblick auf eine vereinfachte Schreibweise), die Greensche Funktion als komplexe Potentialfunktion zu erklären, wobei man freilich in Kauf nehmen muß, daß der Imaginärteil von Γ(ζ, ζ 0) nur bis auf eine additive Konstante eindeutig bestimmt und in dem zugrunde gelegten Gebiet auch nicht eindeutig ist. Vgl. im übrigen z. B. Hurwitz-Courant: Vorl. über allgemeine Funktionentheorie und elliptische Funktionen. 3. Aufl. S. 405 ff, Berlin 1929.Google Scholar
  60. 1.
    Vgl. die Fußnote 1 auf der vorigen Seite.Google Scholar
  61. 2.
    Die Frage nach der Lösbarkeit von Randwertaufgaben lassen wir hier beiseite, weil sie nicht eigentlich zur Praxis der konformen Abbildung gehört. Sie kann jedenfalls unter sehr allgemeinen Voraussetzungen bejaht werden.Google Scholar
  62. 1.
    Der Einfachheit halber verzichten wir hier darauf, die Abhängigkeit der Neumannschen Funktion von ζ* genauer zu kennzeichnen. Wie aus der Formel (9.2.22) hervorgeht, hat der Wert von ζ* keinen wesentlichen Einfluß auf das Endergebnis.Google Scholar
  63. 1.
    Der Satz von Liouville gilt also auch schon unter der schwächeren Voraussetzung, daß nur der Realteil der betrachteten Funktion beschränkt ist.Google Scholar
  64. 1.
    Vgl. die Überlegungen auf S. 93.Google Scholar
  65. 1.
    Siehe etwa H. Weyl: Die Idee der Riemannschen Fläche. 3. Aufl., S. 1–11. Stuttgart 1955.Google Scholar
  66. 1.
    Siehe etwa C. Carathéodory, Conformai Representation, insbesondere S. 39–53. Cambridge 1932.Google Scholar
  67. 2.
    Über die Definition der konformen Abbildung im Punkt ∞ s. 4.2.Google Scholar
  68. 1.
    Für einfach zusammenhängende Gebiete kann man die Greensche Funktion also immer mit Hilfe der konformen Abbildung konstruieren.Google Scholar
  69. 2.
    Vgl. 5.1. und 9.4.Google Scholar
  70. 3.
    Siehe hierzu etwa H. Weyl: Die Idee der Riemannschen Fläche. 3. Aufl., S. 82ff. Stuttgart 1955. Behnke und Sommer: Theorie der analytischen Funktionen einer komplexen Veränderlichen. S. 336 ff. Berlin-Göttingen-Heidelberg 1955.Google Scholar
  71. 4.
    Ist der Punkt ∞ ein Randpunkt des Gebietes, so ist hier Stetigkeit im Sinne der Stetigkeit auf der Zahlenkugel zu verstehen.Google Scholar
  72. 1.
    Vgl. hierzu etwa das Strömungsproblem am Schluß von 32.Google Scholar
  73. 2.
    Siehe etwa H. Weyl: a. a. O. S. 44 ff.Google Scholar
  74. 1.
    Vgl. 2.1, insbesondere Abb. 6.Google Scholar
  75. 1.
    Ich werde dies in 11.1b noch genauer nachweisen.Google Scholar
  76. 1.
    Andernfalls müßte nämlich eine konforme Abbildung von Rechtecken gleicher Breite, aber verschiedener Länge aufeinander möglich sein, so daß dabei die Seiten einzeln ineinander übergehen. Daß dies nicht möglich ist, kann man sich am einfachsten anhand des Beispiels 3.1 klarmachen. Es müßten dann zwei rechteckige Platten gleicher Breite, aber verschiedener Länge gleichen elektrischen Widerstand haben.Google Scholar
  77. 1.
    Siehe etwa F. Tricomi u. M. Kraft: Elliptische Funktionen. Leipzig 1948, S. 170.Google Scholar
  78. 1.
    Villat, H.: Le problem de Dirichlet dans une aire annulaire. R.C. Circolo Mat. Palermo 33, 134–175 (1912).Google Scholar
  79. Dini,U.: Il problema di Dirichlet in un-area anulare, e nello spazio compreso fra due sfere concentriche, R.C. Circolo Mat. Palermo 36, 1–28 (1913).Google Scholar
  80. 1.
    Ganz ähnliche Überlegungen lassen sich auch für mehrfach zusammenhängende symmetrische Gebiete anstellen. Vgl. die Beispiele in B § 8.Google Scholar
  81. 2.
    Liegt der Symmetriepunkt nicht in dem abzubildenden Gebiet, so ist der Punkt ∞ innerer Punkt. Dieser kann dann als Symmetriepunkt genommen werden, da er für jede Drehung Fixpunkt ist (vgl. 7.1.).Google Scholar
  82. 3.
    Vgl. (9.5.3) S. 99.Google Scholar
  83. 1.
    SieheB 1.1.Google Scholar
  84. 1.
    Nach H. A. Schwarz: Über einige Abbildungsaufgaben. J. reine angew. Math. 70, 105–120 (1869), Werke II, 65–83.Google Scholar
  85. 1.
    Auf der Zahlenebene oder Zahlenkugel erklärte Gebiete werden auch als schlichte Gebiete bezeichnet. Dagegen heißen nichtschlicht solche Gebiete, die auf allgemeineren Riemannschen Flächen erklärt sind und bei der Projektion auf die Zahlenebene sich selbst überdecken.Google Scholar
  86. Allgemeinste nichtschlichte Polygone untersucht H. Unkelbach in den Arbeiten: Die konforme Abbildung echter Polygone, Math. Ann. 125, 82–118 (1952) und: Geometrie und konforme Abbildung verallgemeinerter Kreisbogenpolygone, Math. Ann. 129, 391–414, 130, 327–336 (1955).Google Scholar
  87. 1.
    Der Ausdruck (12.1.5) bildet also das infinitesimale Gegenstück zu dem Doppelverhältnis (7.2.12) und läßt sich auch aus diesem durch einen — allerdings etwas komplizierten — Grenzübergang gewinnen. Im Zusammenhang mit unseren Fragestellungen hat zuerst H. A. Schwarz diesen Ausdruck betrachtet, der nach ihm auch als Schwarzsche Ableitung bezeichnet wird.Google Scholar
  88. 1.
    Bei dieser Reihenentwicklung hat man zu berücksichtigen, daß δ jetzt eine ganze Zahl sein muß.Google Scholar
  89. 1.
    Siehe etwa E. Kamke: Differentialgleichungen, Lösungsmethoden und Lösungen. S. 117. Leipzig 1944.Google Scholar
  90. 1.
    Siehe 12.5.Google Scholar
  91. 1.
    Siehe F. Schilling: Beiträge zur geometrischen Theorie der Schwarzschen s-Funktion. Math. Ann. 44, 161–260 (1894). In dieser Arbeit wird mit rein geometrischen Methoden gezeigt, daß ein Kreisbogendreieck durch seine Eckenwinkel bis auf lineare Abbildungen eindeutig bestimmt ist. Da in diesem Fall kein Parameterproblem auftritt, folgt diese Tatsache bereits aus unseren Überlegungen bei der Ableitung der Schwarzschen Differentialgleichung.CrossRefMathSciNetGoogle Scholar
  92. 2.
    Siehe F. Stallmann: Konforme Abbildung gewisser Kreisbogenvierecke als Eigenwertproblem. Math. Z. 59, 211–230 (1953).MATHCrossRefMathSciNetGoogle Scholar
  93. 1.
    Man hat hierbei zunächst zu berücksichtigen, daß die Grundpunkte des von den beiden Seiten erzeugten Kreisbüschels (vgl. 7.5, S. 71) Fixpunkte dieser Abbildung sind. Bringt man diese Punkte nach 0 und ∞, so erhält man die Normalform (7.2.9), wobei s eine Exponentialfunktion des Winkels wird. Aus (7.2.10) erhält man dann schließlich die Formel (12.3.6).Google Scholar
  94. 2.
    Es genügt offenbar, wenn die Übergangssubstitutionen von jeder singulären Stelle zur nächstfolgenden bekannt sind.Google Scholar
  95. 1.
    Siehe F. Stallmann: Konforme Abbildung von Kreisbogenpolygonen. I, II, III. Math. Z. 60, 187–212 (1954)MATHCrossRefMathSciNetGoogle Scholar
  96. 1a.
    Siehe F. Stallmann: Konforme Abbildung von Kreisbogenpolygonen. I, II, III. Math. Z. 68, 27–76, 245–266 (1957).MATHCrossRefMathSciNetGoogle Scholar
  97. 2.
    Die Koeffizienten der Differentialgleichung (12.4.4) sind hier als Funktionen von w geschrieben; natürlich sind sie vermittels w = w(ξ) nach (12.4.3) als Funktionen von ξ aufzufassen.Google Scholar
  98. 1.
    Die Unendlichkeitsstellen von Q (ξ) können nur auf dem Rand des Treppenpolygons liegen.Google Scholar
  99. 1.
    Siehe F. Stallmann: Math. Z. 60, 196ff.Google Scholar
  100. 1.
    Diese gebrochen linearen Abbildungen spielen hier etwa die gleiche Rolle, wie die Übergangssubstitutionen (12.3.1) zwischen den kanonischen Lösungen.Google Scholar
  101. 2.
    Gewisse Verbesserungen ergeben sich in solchen Fällen, wenn man zur Annäherung statt der Hankelfunktionen allgemeinere konfluente hypergeometrische Funktionen benutzt. Siehe F. Stallmann: Math. Z. 68, 245–266 (1957).Google Scholar
  102. 1.
    Dies ist nur eine von verschiedenen Möglichkeiten der Aufteilung. Es könnten hier z. B. noch die Rechtecke 1 und 2 oder 1 und 5 zu einem Teilrechteck zusammen-gefaßt werden.Google Scholar
  103. 1.
    Vgl. den Schluß des folgenden Abschnittes 12.5, S. 141.Google Scholar
  104. 1.
    Siehe etwa L. Collatz: Numerische Behandlung von Differentialgleichungen. 2. Aufl., S. 59ff. Berlin-Göttingen-Heidelberg 1955.Google Scholar
  105. 1.
    Siehe L. Collatz: Natürliche Schrittweite bei numerischer Integration von Differentialgleichungssystemen. Z. angew. Math. Mech. 22, 216–225 (1942).Google Scholar
  106. 2.
    Vgl. die Bemerkungen am Schluß von 12.1.Google Scholar
  107. 1.
    Dieser hängt natürlich auch wesentlich von den zur Verfügung stehenden Rechenhilfsmitteln ab. Hier ist in erster Linie an den Einsatz von Integrieranlagen zur Lösung der Schwarzschen Differentialgleichung zu denken. Die Form (12.2.2) in Verbindung mit (12.2.3) dürfte hierfür recht geeignet sein.Google Scholar
  108. 2.
    Siehe § 16 und § 17, insbesondere 17.3 und 17.4.Google Scholar
  109. 3.
    Rothe, H.: Über das Grundtheorem und die Obertheoreme der automorphen Funktionen im Falle der Hermite-Laméschen Gleichung mit vier singulären Punkten, Mh. Math. Phys. 19, 258–288 (1908).MathSciNetGoogle Scholar
  110. 3a.
    Fock, V.: Über die konforme Abbildung eines Kreisvierecks mit verschwindenden Winkeln, J. reine angew. Math. 161, 137–151 (1929).MATHCrossRefGoogle Scholar
  111. Stallmann, F.: Konforme Abbildung gewisser Kreisbogenvierecke als Eigenwertproblem. Math. Z. 59, 211–230 (1953).MATHCrossRefMathSciNetGoogle Scholar
  112. 1.
    In der Schwarzschen Differentialgleichung (12.1.21) spielt das Vorzeichen von δ v keine Rolle, da diese Größe nur im Quadrat auftritt.Google Scholar
  113. 1.
    Man kann die rechte Seite von (13.1.14) formal auch als Quotienten zweier linear unabhängiger Lösungen von (12.2.12) schreiben, wenn man dort ψ 2 (w) gleich der konstanten Lösung setzt.Google Scholar
  114. 2.
    Auch hier können wieder nichtschlichte Polygone auftreten (wenn nicht |δ v | ≦ 1 ist). Vgl. im übrigen die Bemerkungen am Schluß von 12.2 S. 125.Google Scholar
  115. 1.
    Vgl. B 4.1 und 5.1.Google Scholar
  116. 2.
    Vgl. z. B. die Überlegungen am Schluß von 14.1.Google Scholar
  117. 3.
    Vgl. 13.5.Google Scholar
  118. 1.
    Unabhängig sind insbesondere die Längenverhältnisse von n-3 verschiedenen Seiten zu einer der drei übrigen Seiten.Google Scholar
  119. 2.
    Liegt nur eine Ecke im Unendlichen, sind also nur zwei Seiten unendlich lang, so ist das Polygon immer noch durch die Verhältnisse der übrigen n — 2 Seiten bis auf eine Ähnlichkeitstransformation eindeutig bestimmt.Google Scholar
  120. 1.
    Das Schleifenintegral läßt sich in diesem Fall also auch bilden, wenn δ i+1 ≦ 0 ist, und hat auch dann einen endlichen Wert.Google Scholar
  121. 1.
    Vgl. die Beispiele in Teil B.Google Scholar
  122. 2.
    Im Gegensatz zu der in § 12 besprochenen allgemeinen Polygonabbildung nimmt bei der Abbildung von Geradenpolygonen der Punkt z = ∞ eine Sonderstellung ein, weil dieser Fixpunkt aller ganz linearer Abbildungen (13.1.1) ist. Aus diesem Grunde braucht die Differentialinvariante (13.1.2) für z = ∞ auch dann nicht regulär analytisch zu sein, wenn die Abbildung z(w) dort konform ist.Google Scholar
  123. 1.
    Zum Beispiel ist für die Abbildung des Äußeren eines Parallelogramms das zugeordnete Polygon ebenfalls ein Parallelogramm. Es sei noch erwähnt, daß die Größe (δ v — 1) n gleich dem Nebenwinkel der betreffenden Ecke ist.Google Scholar
  124. 1.
    Dies gilt besonders für symmetrische Polygone. Vgl. hierzu die Lösung des Problems für das gleichseitige Dreieck in P. Frank u. R. v. Mises: Die Differential-und Integralgleichungen der Mechanik und Physik. S. 645–652. Braunschweig 1927.Google Scholar
  125. 1.
    Dies bedeutet, daß der Parameter e m im Laufe der Rechnung festgehalten wird.Google Scholar
  126. 1.
    Matthieu, P.: Über die praktische Anwendung der Schwarz-Christoffelschen Formel. Vorgetragen auf der GAMM-Tagung in Braunschweig 1952. Herr Matthieu hat das Vortragsmanuskript dem Verfasser freundlicherweise zur Verfügung gestellt.Google Scholar
  127. 1.
    Dieses Glied sichert die Konvergenz des Integrals bei w = ∞; hier ist aber die Konvergenz schon dadurch gegeben, daß v* (u*) in der Umgebung von ∞ verschwindet.Google Scholar
  128. 2.
    Bezüglich der Konvergenz des Integrals siehe die Bemerkungen zu (13.5.20).Google Scholar
  129. 3.
    Bei der Auswertung dieser Integrale kann man in beiden Fällen mit verhältnismäßig groben Methoden arbeiten, da die Genauigkeit der Korrekturen ohnehin beschränkt ist.Google Scholar
  130. 1.
    Kufarew,P. P.: Doklady Akad. Nauk SSSR, 57, 535–537 (1947).Google Scholar
  131. Löwner, K.: Math. Ann. 89, 103–121 (1923).MATHCrossRefMathSciNetGoogle Scholar
  132. 1.
    Man kann diese Stellen im Schwarz-Christoffelschen Integral als zusätzliche Singularitäten mit δ k = 0 auffassen, wobei (14.1.3) (14.1.4) gewisse Residuenbedingungen darstellen.Google Scholar
  133. 1.
    Soweit die Ecken nicht mit kritischen Punkten zusammenfallen, sind dies auch die Innenwinkel des Polygons in der z-Ebene. Die Bilder der kritischen Punkte sind stets singulare Stellen mit δ*v = 0, gleichgültig ob diese Randpunkte Ecken oder innere Punkte einer Seite des Polygons in der z-Ebene sind. Wir bemerken noch, daß im Gegensatz zu den in § 13 betrachteten Schwarz-Christoffelschen Integralen die Konstante C 1 hier nicht beliebig gewählt werden kann, sondern durch (14.1.3) festgelegt ist.Google Scholar
  134. 2.
    Durchgerechnete Beispiele finden sich in B 3.1 und 6.1.Google Scholar
  135. 3.
    Bei mehrfach zusammenhängenden Polygonen kann auch der Fall eintreten, daß alle Seiten auf konzentrischen Kreisen liegen. Siehe hierzu 15.3.Google Scholar
  136. 1.
    Jedoch nicht notwendig konform, so z. B. an Ecken mit dem Innenwinkel 2 π (Schlitzenden), wo die Abbildung z(w) eine Verzweigungsstelle hat.Google Scholar
  137. 1.
    Epheser,H.: Konforme Abbildung einfach zusammenhängender Gebiete, die von Bögen konzentrischer logarithmischer Spiralen berandet sind. J. reine angew. Math. 187, 131–152 (1949).MathSciNetGoogle Scholar
  138. 1.
    Es ist hier nicht notwendig, sich auf orthogonale Scharen konfokaler Parabeln zu beschränken, wie sie in 6.2, Abb. 31 dargestellt sind.Google Scholar
  139. 1.
    Ausnahmen treten in folgenden Fällen ein: Ist eine Randkurve ein Zweieck, so erhöht sich die Zahl der geometrischen Konstanten um eine, ist sie ein Vollkreis, um drei. In diesen Fällen erfährt die Beziehung (15.1.7) gewisse Einschränkungen, die unabhängig von den Parametern der Differentialgleichung gelten, etwa in der Art, daß für gewisse Lösungen die Koeffizienten von (15.1.7) alle reell sein müssen.Google Scholar
  140. 1.
    Polygone hier im verallgemeinerten Sinne verstanden, wie sie bei der Abbildung des Fundamentalvierecks durch eine Lösung z(w) entstehen, wenn nicht die Schließungsbedingung sondern die allgemeine Beziehung (15.1.7) besteht.Google Scholar
  141. 1.
    Vgl. 11.1b. Wir können also auch die Abbildung periodischer Polygone mit Hilfe des Ansatzes (15.2.5) durchführen.Google Scholar
  142. 2.
    Hier ist die Gleichung (15.2.2) benutzt. Diese Gleichung gilt nicht mehr, wenn ein Zusatzfaktor (15.2.6) auftritt. Wir dürfen es dem Leser überlassen, die Formel (15.2.8b) für diesen Fall entsprechend abzuändern. Ebenso wollen wir hier nicht näher auf den Fall eingehen, daß Ecken im Unendlichen liegen. Die Überlegungen von 13.2 lassen sich ohne Schwierigkeit auf zweifach zusammenhängende Polygone übertragen.Google Scholar
  143. 2.
    Genauer entweder eine Drehung oder eine Streckung.Google Scholar
  144. 1.
    In evtl. vorhandenen Ecken von C kann diese Bedingung abgeschwächt werden.Google Scholar
  145. 1.
    Theodorsen, T., u. I. E. Garrick: General potential theory of arbitrary wing sections. NAC A Rep. Nr. 452 (1933).Google Scholar
  146. 1.
    Genauere Bedingungen für den Rand von G geben wir in (17.1.8).Google Scholar
  147. 2.
    Gebiete mit dieser Eigenschaft werden auch als sternige Gebiete bezeichnet.Google Scholar
  148. 1.
    Siehe Warschawski,E.: On Theodorsen’s method of conformai mapping of nearly circular regions. Quart. appl. Math. 3, 12–28 (1945).MathSciNetGoogle Scholar
  149. Ostrowski, A. M.: On the Convergence of Theodorsen’s and Garrick’s Method of conformai mapping. Nat. Bureau of Standards. Appl. Math. Ser. 18, 149–164 (1952).MathSciNetGoogle Scholar
  150. 1.
    Garrick,I. E.: Potential flow about biplan wing sections. NACA Rep. No. 542 (1936).Google Scholar
  151. 2.
    Lichtenstein,L.: Zur konformen Abbildung einfach zusammenhängender, schlichter Gebiete. Arch. Math. Phys. 25, 179–180 (1917).MATHGoogle Scholar
  152. 2a.
    S. A. Gerschgorin: Über die konforme Abbildung eines einfach zusammenhängenden Gebiets auf einen Kreis (russ. mit dtsch. Zusammenfassung). Math. Sbornik 40, 48–58 (1933).Google Scholar
  153. 1.
    Siehe etwa W. Schmeidler: Integralgleichungen. S. 270 ff. Leipzig 1950.Google Scholar
  154. 2.
    Royden,H.: Pacific J. Math. 2, 385–394 (1952). Vgl. auch L. V. Ahlfors, Pacific J. Math. 2, 271–280 (1952). — Ausführliche Konvergenzuntersuchungen finden sich in der Arbeit von S. E. Warschawski: On the solution of the Lichtenstein-Gershgorin integral equation in conformai mapping. Nat. Bureau of Standards, Appl. Math. Ser. 42, 7–29 (1955).MATHMathSciNetGoogle Scholar
  155. 3.
    Gegenüber der Funktion (17.1.1) sind hier die Rollen von z und w vertauscht.Google Scholar
  156. 2.
    Kantorowitsch, L. W., u. W. I. Krylow: Näherungsmethoden der höheren Analysis. S. 468–475. (Dtsch. Übers.) Berlin 1956.MATHGoogle Scholar
  157. Kantorowitsch, H. L.: Pacific J. Math. 2, 271–280 (1952).MathSciNetGoogle Scholar
  158. 1.
    Das Verfahren von 17.2 kann demgegenüber als Verfahren zur Lösung der zweiten Randwertaufgabe bezeichnet werden.Google Scholar
  159. 2.
    Wegen der Bezeichnungen vgl. 2.1.Google Scholar
  160. 1.
    Neumann, C.: Leipziger Ber. 22, 264–321 (1870).Google Scholar
  161. 1.
    Vgl. Stallmann, F.: Z. angew. Math. Mech. 38, 279–280 (1958).MATHCrossRefGoogle Scholar

Copyright information

© Springer-Verlag OHG. Berlin · Göttingen · Heidelberg 1959

Authors and Affiliations

  • Werner von Koppenfels
    • 1
  • Friedemann Stallmann
    • 2
  1. 1.Deutschen Technischen HochschuleBrünn (Mähren)Tschechische Republik
  2. 2.Universität GiessenDeutschland

Personalised recommendations