Elementargeometrie der Polyeder

Zusammenfassung

Es bezeichne E _k den k-dimensionalen euklidischen Raum. Auf diesen beziehen sich alle unsere Ausführungen; k bedeutet also stets die Dimension des Raumes. Ein Ursprung Z, ein fester Punkt im Raum, soll die Bedeutung eines Bezugszentrums haben. Punkte charakterisieren wir durch ihre von Z auslaufenden Ortsvektoren; diese sollen durch die nämlichen Zeichen wie die Punkte selbst, etwa durch p, q,… dargestellt werden. Die (euküdische) Distanz zweier Punkte p und q wird mit d(p, q) bezeichnet. Die Ortsvektoren p der Punkte p einer Punktmenge A nennen wir auch kurz Vektoren von A. Gelegentlich ist es auch nützlich, sich auf ein vektorielles Koordinatensystem [e _i ; i = 1, … k] zu beziehen. Die e _i bilden hier ein orthonormiertes System von k Vektoren, so daß für die Skalarprodukte die Relationen (e _i , e _j ) = δ _ij gelten. Eine Richtung im Raum wird zweckmäßig durch einen normierten Richtungsvektor u festgelegt. Denkt man sich diese Richtungsvektoren im Ursprung Z angreifend, so liegen ihre Spitzen auf einer um Z gelegten ((k−1)-dimensionalen) Einheitskugelfläche, der Richtungssphäre S. Einer Richtung u ist das System der k Richtungskosinus cos θ _i = (u, e _i ) mit Σ cos² θ _i = 1 eineindeutig zugeordnet; es sind dies die k Koordinaten des betreffenden Punktes der Richtungssphäre. Ein (k−l)-dimensionaler euklidischer Unterraum E_k−1 heißt Ebene und wird kurz mit E bezeichnet.