Die freien Gruppen

Zusammenfassung

In einer von einem Komplex 𝔎 = (K _ι ) (über ι ϵ 𝗅) erzeugten Gruppe 𝔊 = {𝔎} besitzt jedes Element G (außer etwa E) eine Darstellung

$$ G = K_{{{l_{1}}}}^{{{g_{2}}}}K_{{{l_{1}}}}^{{{g_{n}}}}\quad mit\quad {l_{{v - 1}}} \ne {l_{v}};{g_{v}} \ne 0\quad fur\quad 1 \leqq v \leqq n $$

gewisser Länge n ≧ 1 in Elementen K _ι ϵ 𝔎 die Einheit E sei das Element der Länge 0. Ist nun 𝔉 die durch ein System 𝔊= (S _ι ) (über ι ϵ 𝗅) erzeugte freie Gruppe, so bestimmt die Zuordnung

$$ \sigma :F(S) = S_{{{{l}_{1}}}}^{{{{g}_{1}}}}S_{{{{l}_{2}}}}^{{{{g}_{2}}}}...S_{{{{l}_{n}}}}^{{{{g}_{n}}}} \to K_{{{{l}_{1}}}}^{{{{g}_{1}}}}K_{{{{l}_{2}}}}^{{{{g}_{2}}}}...K_{{{{l}_{n}}}}^{{{{g}_{n}}}} = F(K) \in {\text{ }}G $$

unter der angegebenen Beschränkung der Indizes und Exponenten einen Homomorphismus σ von 𝔉 auf 𝔊. Da eine unkürzbare Form F(S) einer Länge n ≧ 1 niemals die Einheit E ϵ 𝔉 darstellt, liegt ein Isomorphismus von g auf © genau dann vor, wenn © die von S erzeugte freie Gruppe ist. In jedem anderen Falle bilden die Formen R(S)ϵ 𝔉, für die

$$ \sigma :R(S) \to R(K) = E \in {\text{ }}G $$

einen Normalteiler ℜ≦|𝔉 und es besteht die Isomorphie 𝔊 ≅ 𝔉/ℜ. Die Elemente R(S) des Normalteilers ℜ≦|𝔉 bezeichnen wir als die Relationen des Erzeugendensystems 𝔎 der Gruppe 𝔊; sie liefern genau die nicht trivialen Darstellungen R (K) = E der Einheit E in 𝔊. Der Normalteiler ℜ ist die Relationengruppe des Erzeugendensystems 𝔎 in 𝔊.