Zusammenfassung
Eine Teilmenge 𝔎 einer Halbgruppe 𝕳 nennen wir einen Komplex in 𝕳. Neben den rein mengentheoretischen Begriffen führen wir ein:
Für jede natürliche Zahl n ist 𝔎1𝔎2 … 𝔎 n die Menge aller Produkt 1 X 2 X... n aus Elementen X v ϵ𝔎 v (für i ≦v ≦ n).
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Literatur
1.2.1. Die für den Kalkül überaus zweckmäßigen Begriffe des Komplexes und der Komplexmultiplikation stammen wie zahlreiche andere grundlegende Begriffe der Gruppentheorie von G. Frobenius; seine gruppentheoretischen Arbeiten sind hauptsächlich in den Sitzungsberichten der preuß. Akad. Wiss. Berlin in den Jahren um 1900 erschienen. Der unscheinbare Satz von R. Dedekind besitzt große Bedeutung; er kennzeichnet nämlich die Struktur des Untergruppenverbandes einer Gruppe.
1.2.2. Zur Theorie der Verbände vergleiche man: Birkhoff, G.: Lattice theory. New York: Amer. Math. Soc. 1948.
Hermes, H.: Einführung in die Verbandstheorie. Berlin: Springer 1955.
Auf die wichtige Frage, inwieweit eine Gruppe ihrer Struktur nach durch die Verbandsstruktur ihres Untergruppenverbandes gekennzeichnet ist, kann nicht eingegangen werden. Man vergleiche: Baer, R.: Situation der Untergruppen und Struktur der Gruppe. Sitzgsber. Heidelberg. Akad. Wiss. 2, 12–17 (1933).
Baer, R.: The significance of the system of subgroups for the structure of the group. Amer. J. Math. 61, 1–44 (1939).
Rottländer, A.: Nachweis der Existenz nichtisomorpher Gruppen von gleicher Situation der Untergruppen. Math. Z. 28, 641–653 (1928).
Sadowski, L. E.: Verbandsisomorphismen freier Gruppen und freier Produkte [Russisch]. Mat. Sbornik, N. S. 14, 155–173 (1944).
Sadowski, L. E.: Über die Verbandsisomorphismen freier Produkte von Gruppen [Russisch]. Mat. Sbornik, N. S. 21, 63–82 (1947).
Beaumont, R. A.: Projections of non-abelian groups upon abelian groups containing elements of infinite order. Amer. J. Math. 64, 115–136 (1942).
In Zusammenhang mit diesem Problemkreis steht auch die anwendungsreiche Theorie in: Baer, R.: Crossed isomorphisms. Amer. J. Math. 66, 341–404 (1944).
1.2.3. Die Restklassenzerlegung einer Gruppe nach einer Untergruppe als Modul bzw. nach zwei Untergruppen als Doppelmodul geht wohl zurück auf: Frobenius, G.: Über die Kongruenz nach einem aus zwei endlichen Gruppen gebildeten Doppelmodul. J. reine u. angew. Math. 101, 273–299 (1887).
1.2.4. Die Theorie der Permutationsgruppen ist einer der bedeutendsten Grundsteine der Gruppentheorie; historisch wichtig ist hier: Jordan, C.: Traité des substitutions et des équations algébriques. Paris: Gauthier-Villars 1870.
Als größere Monographie über Permutationsgruppen erwähne ich noch: Manning, W. A.: Primitive groups, Vol. I. Stanford Univ. 1921.
Neuere Arbeiten über diesen Gegenstand: Wielandt, H.: Zur Theorie der einfach transitiven Permutationsgruppen I., II. Math. Z. 40, 582–587 (1935); 52, 384–393 (1949).
Witt, E.: Die fünffach transitiven Gruppen von Mathieu. Abh. Hamburg 12, 256–264 (1937).
Holyoke, T. C.: On the structure of multiply transitive permutation groups. Amer. J. Math. 74, 787–796 (1952).
Beaumont, R. A., and R. P. Peterson: Set-transitive permutation groups. Canad. J. Math. 7, 35–42 (1955).
1.2.5. Die frühere Bezeichnung invariante Untergruppe für Normalteiler einer Gruppe hat sich in der Entwicklung der Theorie als unzweckmäßig erwiesen.
Die Struktur der Hamiltonschen Gruppen, die ihren Namen W. R. Hamilton, dem Erfinder der Quaternionen verdanken, ist wohlbekannt: Dedekind, R.: Über Gruppen, deren sämmtliche Teiler Normalteiler sind. Math. Ann. 48, 548–561 (1897)
1.2.6. Ähnliche Komplexe einer Gruppe werden häufig auch als konjugiert bezeichnet; man spricht dann auch von konjugierten Elementen und Untergruppen. Ich ziehe meine Bezeichnung vor, da dann das Hauptwort Ähnlichkeit gebildet werden kann.
1.2.8. Die Struktur der symmetrischen Gruppe ist wegen ihrer fundamentalen Bedeutung für die Galoissche Theorie algebraischer Gleichungen Gegenstand weitverzweigter Untersuchungen; ich verweise auf den Enzyklopädiebericht von W. Magnus und mache hier nur aufmerksam auf: Schreier, J., u. S. Ulam: Über die Permutationsgruppe der natürlichen Zahlenfolge. Studia math. 4, 134–141 (1933).
Baer, R.: Die Kompositionsreihe der Gruppe aller eineindeutigen Abbildungen einer unendlichen Menge auf sich. Studia math. 5, 15–17 (1934).
Die Einfachheit der alternierenden Gruppe ist sehr häufig bewiesen worden, aber schon lange bekannt: Abel, N. H.: Beweis der Unmöglichkeit, algebraische Gleichungen von höheren Graden als dem vierten allgemein aufzulösen. J. reine u. angew. Math. 1, 65–84 (1826).
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© 1956 Springer-Verlag OHG. Berlin · Göttingen · Heidelberg
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Specht, W. (1956). Die Untergruppen einer Gruppe. In: Gruppentheorie. Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol 82. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-94667-7_2
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