Zusammenfassung
Bewertungsringe. Anschließend an 4. und 5. betrachten wir einen ganz abgeschlossenen Integritätsbereich ℑ mit dem Quotientenkörper R und stellen uns die Aufgabe, die Teilbarkeitstheorie der Elemente von R hinsichtlich ℑ zu entwickeln. Für einen Z.P.I.-Ring ℑ wird diese Aufgabe nach 4. und 5. durch die Dedekindsche Idealstheorie gelöst. Wir suchen aber nach einer Methode, die auch auf allgemeinere Ringe angewandt werden kann, z. B. auf die Polynom-ringe und endlichen Integritätsbereiche, womöglich sogar auf alle ganz abgeschlossenen Integritätsbereiche. Eine solche Methode liefert die Bewertungstheorie, die nicht auf Dedekind zurückgeht, sondern auf Hensel und seine p-adischen Zahlen — also wiederum auf eine spezielle Behandlungsweise der endlichen algebraischen Zahlkörper.
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Literatur
Kürschäk [1], Ostrowski [1] (grundlegende Arbeiten zur Bewertungstheorie); Krull [19] § 1 und § 2, [25] § 1 und § 4 (Einführung der Exponentenbewertungen, Charakterisierung der Bewertungsringe, „ganz“ und „vollständig ganz“ — in [25] „voll und ganz“ — abgeschlossen), — Die bei Kriterium 3 besonders hervorgehobene Beweismethode stammt aus Krull [11]. Unter den Arbeiten, in denen sie Anwendung gefunden hat, seien als besonders wichtig hervorgehoben: van der Waerden [9], [10] (beliebige ganz abgeschlossene 0-Ringe); Artin [1] (maximale hyperkomplexe Systeme); vgl. auch Prüfer [2] § 8.
Krull [22]. — Zur arithmetischen Theorie der Potenzreihenringe sei noch bemerkt, daß sich wesentlich weitergehende Aussagen machen lassen, wenn der Koeffizientenbereich nicht eine beliebige endliche diskrete Hauptordnung, sondern ein Z.P.I.-Ring ist. Vgl. Schur [1], Krull [23].
Dedekind [11], Hensel [2], Hasse [2], Krull [22] § 5
Krull [19] § 3 und vor allem Krull [25].
Zweirangige Bewertungen eines Körpers vom Transzendenzgrad 2 treten bei Jung [1] (Kap. I, § 8) auf. Bei Ostrowski [6] ist die konstruktive Bestimmung aller möglichen (allgemeinen und speziellen) Bewertungen eines beliebigen Körpers R durchgeführt. Für unsere arithmetischen Untersuchungen hat das Konstruktionsproblem keine wesentliche Bedeutung. Handelt es sich nämlich um die Untersuchung eines vorgegebenen ganz abgeschlossenen Integritätsbereichs ℑ, so wird man wohl immer die zur
Beherrschung von ℑ nötigen Bewertungen mit Hilfe der speziellen Eigenschaften von ℑ und nicht auf Grund der allgemeinsten Konstruktionsmethoden aufstellen. (Vgl. z. B. oben die Behandlung der endlichen diskreten Hauptordnungen und der Multiplikationsringe.)
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Dieses Kapitel ist Teil des Digitalisierungsprojekts Springer Book Archives mit Publikationen, die seit den Anfängen des Verlags von 1842 erschienen sind. Der Verlag stellt mit diesem Archiv Quellen für die historische wie auch die disziplingeschichtliche Forschung zur Verfügung, die jeweils im historischen Kontext betrachtet werden müssen. Dieses Kapitel ist aus einem Buch, das in der Zeit vor 1945 erschienen ist und wird daher in seiner zeittypischen politisch-ideologischen Ausrichtung vom Verlag nicht beworben.
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Krull, W. (1935). Bewertungstheorie. In: Idealtheorie. Ergebnisse der Mathematik und Ihrer Grenzgebiete, vol 3. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-94181-8_5
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