Komplexe Rechnung, Ortskurven

Zusammenfassung

Eine komplexe Zahl

$$A = a + bj\,\,\,\,\,\,(\text{j} = \sqrt { - 1} )$$

enthält im allgemeinen zwei (rationale oder irrationale) reelle Zahlen a und b; j ist eine Abkürzung für die im Reellen nicht erklärte $\sqrt { - 1}$; a = ReA heißt der Real-, b = ImA der Imaginärteil der komplexen Zahl A. Man stellt die komplexen Zahlen gewöhnlich als Punkte in einer Ebene dar (Gausssche Zahlenebene) mit dem Realteil als Abszisse, dem Imaginärteil als Ordinate. Statt der Punkte (a, b) gibt man zur Kennzeichnung der komplexen Zahl a + jb auch den vom Ursprung (0, 0) nach diesem Punkte weisenden Ortsvektor an. Diese Ortsvektoren werden vielfach als „Zeiger“ bezeichnet (Abb. 03.I). Die unendlich ausgedehnte Gausssche Zahlenebene läßt sich ersetzen durch die endliche Oberfläche einer Zahlenkugel (Riemannsche Zahlenkugel) vom Durchmesser 1; beide stehen über die sogenannte „stereographische Projektion“ in Beziehung: Man läßt die Kugel mit ihrem Südpol die Ebene im Ursprung berühren und projiziert die Punkte der Ebene vom Nordpol aus auf die Kugel. Die Durchstoßpunkte der Projektionsstrahlen durch die Kugelfläche werden dabei als die Bilder der betreffenden komplexen Zahlen angesehen (siehe Abb. 03.2). Dem Einheitskreis in der komplexen Ebene entspricht der Äquator der Kugel. Die unendlich fernen Elemente der Ebene erscheinen auf dem Nordpol der Kugel abgebildet. Das Netz der Polarkoordinatenlinien r = const, φ = const der Ebene geht in das System der Längen und Breitenkreise der Kugel über.