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Beweis der Irrationalität der Tangenten Rationaler Bögen in Einer Neuen Gestalt

  • Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften

Zusammenfassung

Die unendlichen Reihen
$$P = 1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{{mm}}{{nn}} + \frac{1}{{2.4}} \cdot \frac{1}{{1.3}} \cdot \frac{{{m^4}}}{{{n^4}}} - \frac{1}{{2.4.6}} \cdot \frac{1}{{1.3.5}} \cdot \frac{{{m^6}}}{{{n^6}}} + u.s.w.$$
$${P_1} = \frac{m}{n} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{1.3}} \cdot \frac{{{m^3}}}{{{n^3}}} + \frac{1}{{2.4}} \cdot \frac{1}{{1.3.5}} \cdot \frac{{{m^5}}}{{{n^5}}} - \frac{1}{{2.4.6}} \cdot \frac{1}{{1.3.5.7}} \cdot \frac{{{m^7}}}{{{n^7}}} + u.s.w.$$
$${P_2} = \frac{1}{{1.3}} \cdot \frac{{{m^3}}}{{n \cdot m}} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{1.3.5.}}\frac{{{m^5}}}{{{n^4}}} + \frac{1}{{2.4}} \cdot \frac{1}{{1.3.5.7}} \cdot \frac{{{m^7}}}{{{n^6}}} - \frac{1}{{2.4.6}} \cdot \frac{1}{{1.3.5.7.9}} \cdot \frac{{{m^9}}}{{{n^8}}} + u.s.w.$$
$${P_3} = \frac{1}{{1.3.5}} \cdot \frac{{{m^5}}}{{{n^3}}} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{1.3.5..7}}\frac{{{m^7}}}{{{n^5}}} + \frac{1}{{2.4}} \cdot \frac{1}{{1.3.5.7.9}} \cdot \frac{{{m^9}}}{{{n^7}}} - \frac{1}{{2.4.6}} \cdot \frac{1}{{1.3.5.7.9.11}} \cdot \frac{{{m^{11}}}}{{{n^9}}} + u.s.w.$$
und allgemein, von θ = 1 an,
$${P_\theta } = \frac{1}{{1.3.5...(2\theta - 1)}} \cdot \frac{{{m^{2\theta - 1}}}}{{{n^\theta }}} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{1.3.5...(2\theta + 1)}} \cdot \frac{{{m^{2\theta + 1}}}}{{{n^\theta } + 2}} + \frac{1}{{2.4}} \cdot \frac{1}{{1.3.5...(2\theta + 3)}} \cdot \frac{{{m^{2\theta + 3}}}}{{{n^{\theta + 4}}}} - \frac{1}{{2.4.6}} \cdot \frac{1}{{1.3.5...(2\theta + 5)}} \cdot \frac{{{m^{2\theta + 5}}}}{{{n^{\theta + 6}}}} + u.s.w.$$
, wo m, n zunächst beliebige gegebene positive Grössen bedeuten, sind offenbar alle, wenn nicht vom Anfange an, doch nach hinlänglich weiter Fortsetzung convergent, und zwar mehr als jede fallende geometrische Progression. Es hat daher jede einen endlichen bestimmten Zahlenwerth.

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© Springer Fachmedien Wiesbaden 1900

Authors and Affiliations

  • Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften
    • 1
  1. 1.GöttingenDeutschland

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