Zusammenfassung
Für die Mathematik ist es — was schon gelegentlich betont wurde, jedoch hier nochmals hervorgehoben werden soll — von grundlegender Bedeutung, daß sie ihre Operationen und Gesetze nicht für spezielle Zahlen, sondern für Zahlen schlechthin ableitet. Daher werden wir im folgenden, ausgenommen in besonderen Beispielen, immer mit Zeichen operieren, die uns eine Zahl eines gewissen Zahlentypus oder Zahlengebietes zu repräsentieren haben. Schreiben wir z. B. „a“, so meinen wir damit irgendeine reelle Zahl und was wir über dieses a auszusagen imstande sind, gilt dann für alle reellen Zahlen, insoweit sie eben von diesem a repräsentiert sind. Es ist gleichsam der Buchstabe a das Zeichen für den Typus, für die Gattung; die einzelnen Individuen sind dann die Zahlen, die er repräsentiert, also in unserem Falle z. B. 1, 2, \(2\tfrac{5}{{10}}, - 3,187,\sqrt 2 ,0,0357 \cdots \) usw., kurz alle reellen, rationalen und irrationalen Zahlen. Sollten z. B. durch die Zeichen a, b, c nur ganze Zahlen bezeichnet werden, so muß dies ausdrücklich betont werden und alle Gesetze, die wir dann unter dieser Voraussetzung ableiten, gelten natürlich nur für die ganzen Zahlen. Es ist dann nicht notwendig, für die einzelnen Zahlen jeweils die Sache speziell abzuleiten, sondern die Ableitung für den Typus oder Repräsentanten enthält in sich die Ableitung für alle einzelnen Individuen. Zum Unterschied von den speziellen einzelnen Zahlen spricht man von ihrem Repräsentanten, der Zahl a oder b als der allgemeinen Zahl.
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Vgl. hierzu auch S. 67.
oder dann das Gesetz ihrer Veränderlichkeit genau bekannt sein muß.
So sind z. B. Grö;en: Die Höhe eines Turmes, die Länge einer Stange, die Distanz, der Abstand zweier Punkte, der Inhalt einer Fläche oder das Volumen eines Körpers, die Intensität des Lichtes, die Temperatur oder Temperaturdifferenzen, die Geschwindigkeit eines fallenden, überhaupt bewegten Körpers, die Energiemenge z. B. von Akkumulatoren aller Art, die Explosionsmöglichkeit bei der Herstellung von Schießpulver, die Sterbens-oder Erlebenswahrscheinlichkeit in der Versicherungsrechnung usw. usw.
Auf die Begriffe „stetig“ und „unstetig“ kommen wir im folgenden noch eingehender zurück (vgl. S. 319ff.).
Vgl. auch S. 31, 244.
Dabei braucht das Gesetz der gegenseitigen Beziehung nicht durchaus bekannt zu sein.
Wir machen hier ausdrücklich darauf aufmerksam, daß „f“ in dieser Schreibweise durchaus nicht als Faktor aufzufassen ist, sondern nur die Rolle eines Schreibzeichens spielt, um das Funktionsverhältnis zwischen x und y, bzw. der durch sie vertretenen Größen anzudeuten; es kann als Abkürzung der Worte: „Funktion von“ betrachtet werden.
Vgl. auch S. 286.
gegeben durch die Form einer zwischen zwei Aufhängepunkten frei herabhängenden Kette oder Schnur (Seil).
Vgl. „Hütte“, „Des Ingenieurs Taschenbuch“ 20. Aufl. 1908, I S. 336.
Wennschon die in diesen Figuren gegebene Darstellung der unabhängig Variablen in gleichen Zwischenräumen nicht durchaus nötig ist, so zieht man sie doch, wo möglich, vor, da sie eine leichtere Übersicht über die relative Veränderung der beiden Variablen namentlich in der Tabellendarstellung gestattet. Es fällt eben weniger schwer die ungleichmäßige Änderung einer Größe gegenüber der gleichmäßig fortschreitenden einer anderen zu beurteilen, als wenn beide Variable in ungleichmäßigen Wertabständen zu beobachten sind. Dies zeigt sich auch in einem ausgeglicheneren Bild der graphischen Darstellung mit in einer Richtung gleichen Abständen der Punkte.
Vgl. S. 342.
Vgl. S. 146, 159-167, 170, 192.
Vgl. S. 142 Anm.
Das Zeichen ∼ ist zu lesen: entsprechend; man sagt dafür nicht korrekt auch: gleich.
Der Gedanke, der in dieser Zuordnung verschiedener Längen zu einer Maßzahl liegt, ist entstanden im Anschlüsse an die sonst geläufige Definition des Maßstabes, nach welcher man unter dem Maßstab einer Zeichnung ursprünglich das Verhältnis zweier Längen versteht, von denen die eine zur Messung der anderen benutzt wird. Von einer Zeichnung, in der die Gegenstände z. B. 5-mal kleiner, als ihren wirklichen Längen im Original entspricht, dargestellt sind, sagt man, sie sei im Maß-stab 1: 5 gezeichnet; das will sagen: Die auf ihr sich findenden Distanzen verhalten sich zu den wirklichen entsprechenden im Original wie 1: 5 oder: 1 mm der Zeichnung bedeutet, daß die betreffende Länge im Original 5 mm mißt, kurz geschrieben: 1 mm ∽ 5 mm. Dieser Gedanke der Zuordnung verschiedener Längen oder, wie man hier auch sagen kann, einer Strecke (auf der Zeichnung) zu einer Maßzahl (im Original), hat sich dann nach dieser letzteren Auffassung auf die Zuordnung einer Strecke zu jedweder Größe vermittels der Zuordnung der Maßzahlen übertragen und führt diese-ganz allgemeine Zuordnung einer gezeichneten Strecke, Länge zu einer durch sie quantitativ dargestellten Größe auch den Namen Maßstab.
Vgl. S. 137/38.
S. 146-153, 181-185.
s. 148-153, 155.
Vgl. S. 158.
g. 165-167, 181-184.
g. 160-164, 185-187.
Näheres vgl. S. 190/91.
Vgl. hierzu S. 158.
Vgl. Zeitschr. Elektrische Kraftbetriebe u. Bahnen (E. K. u. B.) 1911, S. 64.
Die Kurven wurden aufgestellt nach Versuchen der Herren Prof. Stodola und Famy, vgl. Zeitschrift für das gesamte Turbinenwesen (Z. f. d. g. T.)
1 Kilo-Volt (KV) = 1000 Volt (V).
Vgl. Elektrotechnische Zeitschrift (E. T. Z.) 1904, S. 8.
Nach freundlicher Übermittlung des Experimentators.
Vgl. E. K. u. B. 1909, S. 113 oder E. T. Z. 1910, S. 201.
Die Angaben der genauen Zahlen werte verdanken wir der Freundlichkeit des Herrn Obering. Schörling in Hannover.
weil dann nämlich der Bremsweg mit abnehmender Anfangsgeschwindigkeit unverhältnismäßig größer wird, der Eintritt der vollen Bremswirkung somit länger auf sich warten läßt.
Vgl. EK. u. B. 1909, S. 628.
Preislisten der Siemens-Schuckert-Werke G. m. b. H. (graugrün eingebunden) Bd. I, „Maschinen und Zubehör“. September 1909, S. 28.
Liegt der zu bestimmende Punkt nicht zwischen den Ausgangspunkten, so spricht man von Extrapolieren oder Extrapolation.
Die Angaben verdanken wir dem freundlichen Entgegenkommen der Bank in Winterihur.
„Graphische Tabellen“ 1910.
„Statistische Zusammenstellungen über Blei, Kupfer, Zink usw. von der Metall-gesellschaft Frankfurt a. M.“, Mai 1910, S. 96 und Juli 1911, S. 92.
Sie lassen sich auch graphisch bestimmen als Höhe des Rechteckes, das mit der zwischen der „Kurve“ und der Abszisse über der zum Jahr gehörigen Abszisse liegenden Fläche gleichen Inhalt hat, da sie durch die mittlere Ordinate der über diese Zeit auftretenden Monatsordinaten gegeben sind. Der vom Rechteck über die ‚Kurve ‘hinaus mehr eingeschlossene Mächenteil ist stets gleich dem von der „Kurve“ über das Rechteck hinaus eingeschlossenen (in Fig. 62 durch Schraffur angedeutet für das Jahr 1905).
Vgl. „Statistische Zusammenstellungen der Metallgesellschaft“ 1910 und 1911, S. XIV.
Vgl. Zeitschr. Stahl und Eisen (St. u. E.) 1911, S. 122.
St. u. E. 1911, S. 1002.
Vom Verfasser, Herrn Otto Brandt in Chemnitz freundlich zugestellt.
Aus Schweizerische Elektrotechnische Zeitschrift (S. E. Z.) 1905, S. 352, 353. 2) Vgl. E. K. u. B. 1908, S. 40.
Prof. Dr.-Ing. E. Arnold: „Arbeiten aus dem Elektrotechn. Institut der groß* herzogl. techn. Hochschule Friedericiana zu Karlsruhe“ 1908/09, S. 32.
vgi. E. T. Z. 1908, S. 833.
Vgl. S. 146, Längenprofil.
Vgl. Fig. 65, S. 165.
Vgl. Schweizerische Bauzeitung 1899, Bd. XXXIII, S. 126 oder Broschüre der A.-G. Brown, Boveri & Cie., Baden, Schweiz.
Entnommen aus: Bürhli, Kursbuch, „Reisebegleiter für die Schweiz, Wintersaison 1911/12“, S. 123.
Vgl. E. K. u. B. 1908, S. 316.
Vgl. E. K. u. B. 1909, S. 89.
Vgl. St. u. E. 1911, S. 1758 u. 1755.
Vgl. E. T. Z. 1909, S. 829.
Vgl. Zeitschrift des Vereins deutscher Ingenieure (Z, d. V. d. I.) 1907, S. 114; E. T. Z. 1908, S. 18.
Vgl. E. T. Z. 1909, S. 239.
Vgl. St. u. E. 1911, S. 1757.
Vgl. E. K. u. B. 1905, S. 540.
S. 163.
Vgl. St. u. E. 1911, S. 1002.
S. 165.
Vgl. E. K. u. B. 1908, S. 240.
Vgl. E. K. u. B., 1908, S. 294; auch S. E. Z. 1908, S. 267. Es möge hier kurz angedeutet sein, daß die im Original gewählte, oft getroffene Bezeichnung „Stromverbrauch“ aus leichtfaßlichen Gründen nicht korrekt ist.
S. 167.
Vgl. Ville de Genève, „Compte rendu des services industrielles“, 1908.
Vgl. Z. d. V. d. I. 1903, S. 1203.
Vgl. „Technik und Wirtschaft“, Beilage zur Z. d. V. d. I., Juni 1911, S. 380.
Vgl. Z. d. V. d. I. 1909, S. 1777.
Vgl. Z. d. V. d. J. 1907, S. 107.
Siehe „Der Bund“, in Bern erscheinende Tageszeitung, vom 14. Dezember 1911, Nr. 586.
Vgl. Journal für Gasbeleuchtung und Wasserversorgung 1908, S. 61.
Vgl. S. E. Z. 1911, S. 457.
Vgl. E. K. u. B. 1911, S. 226.
Diese Methode der Untersuchung nennt man die empirische und bezeichnet demnach auch die dadurch gewonnenen Kurven und Formeln als empirische.
K ist die zwischen den beiden Körpern bestehende Anziehungskraft, k ein konstanter Proportionalitätsfaktor, m 1 und m 2 die sich anziehenden Massen, und r ihre Entfernung.
Vgl. S. 200.
Die den Tabellen-Zahlenwerten entsprechenden Kurvenpunkte sind im Bilde jeweils leicht sichtbar angegeben.
Vgl. die Fig. 101 bis 106.
Allerdings ist dies nur ein Spezialfall der Affinität und für denselben im besondern noch die orthogonale; doch kommt einzig diese im obigen Falle in Betracht.
Ändern wir beide Maßstäbe auf beiden Achsen, so besteht keine direkte Affinität.
Zwischen Fig. 108 und 110 oder 110 und 111, sowie 109 und 110, 109 und 111 ist die Affinität (auch bei Beibehaltung der Achsen) gestört, weil nicht mehr wenigstens ei ner der beiden Maßstäbe in beiden Figuren der gleiche ist (vgl. Fußbemerkung S. 201).
Vgl. S. 125, 126.
die sich aus der Proportion 360°: ϕ0 — 2 π: x bestimmen, woraus einer-seits: andrerseits:.
Die Darstellung nach Fig. 114 ist auch bekannt als Glockendiagramm.
S. 200 u. ff.
Vgl. S. 199, 200 u. ff.
Z. d. V. d. I. 1901, S. 1269; Untersuchungen an Schnellbahn wagen der Allgemeinen Elehtrizitäts-Gesellschajt (A. E.G.) in Berlin, ausgeführt in der mechanischen Versuchsanstalt dieser Firma.
Aus diesem Grunde hätten wir diese Funktion eigentlich schon früher, im Anschlüsse an die empirischen ebenen Kurven anführen sollen. Um aber unnötige Wiederholungen zu vermeiden, fanden wir es für zweckmäßiger, den Fall an dieser Stelle vorzuführen.
Alle drei Fig. 120, 121 und 122 sind natürlich wieder nur Projektionsbilder der-räumlichen Modelle. Der einzig richtige Weg zur Demonstration dieser Sache wäre, dem Leser das Modell selbst zu zeigen. Dieser Weg ist hier aber ungangbar.
Auch eignen sich dieselben aus naheliegenden Gründen nicht sehr zur direkten Entnahme von Zwischenwerten der Variablen.
Man nehme irgendeine krumme Fläche, z. B. ein verbogenes Blatt Papier und stelle sich die Projektion der Punkte derselben vor.
Vgl. S. 133 u. ff.
als Ebenen so weit, als man eten die Oberfläche der Erdkugel als Ebene betrachten darf, in größeren Ausdehnungen: äquidistanter, zum Erdmittelpunkt konzentrischer Kugel-(Elliksoid-) Flächen, vgl. auch S. 216.
Dasselbe gilt auch für die nicht eingezeichneten Kurven in den Ebenen parallel zur xy-Ebene.
Vgl. hierzu auch Seite 235.
die sich z. B. ergibt, wenn die Dichte, Temperatur usw. eines inhomogenen Körpers eine Funktion ist der drei Raumkoordinaten x, y, z, d. h. von Punkt zu Punkt variiert, wo dann die Dichte bzw. Temperatur die vierte Veränderliche wäre.
u=f (x, y, z) ist das im vierdimensionalen Räume entsprechende Gebilde der Fläche im dreidimensionalen Raum, wobei man aber zu beachten hat, daß es selbstverständlich räumlich ausgedehnt ist. Setzt man eine Variable konstant, so hätte man dies zu betrachten als den Schnitt dieses Gebildes mit einem dreidimensionalen Räume, der parallel wäre zum dreidimensionalen Raum der drei übrigen Koordinaten. Setzt man zwei der Variablen konstant, so ergäbe sich der Schnitt des vierdimensionalen Gebildes mit einer Ebene parallel zur Koordinatenebene der anderen beiden Variablen.
Man könnte natürlich auch durch Umkehrung der Funktion y = ϕ (x) die Veränderliche y dazu nehmen.
Vgl. Fig. 128.
weil sie nicht in einer Ebene liegt und eine gewundene Gestalt hat.
Die Basis des Logarithmensystemes spielt dabei keine Rolle; im natürlichen Systeme mit der Basis e hieße die Gleichung: In y — In k+ μx.
Vgl. S. 234.
Vgl. S. 234.
bei der Firma Carl Schleicher und Schutt in Düren, Rheinland.
Die genannte Firma stellt solche Papiere auch in anderen Formaten und Maß-stäben her, insbesondere in einem Maßstabe, wo die Einheitsstrecke auf der F-Achse = 25 cm ist, so daß zur Abmessung von Strecken auf ihr unmittelbar der gebräuchliche Rechenschieber verwendet werden kann.
Vgl. S. 205, Anm.
Vgl. „Beiträge zur Ermittlung der Tragkraft und Bewegung eines Freiballons mit Hilfe von Logarithmenpapier.“ Von Dr. Paul Schreiber. Abhandl. der naturw. Gesellschaft Isis in Dresden 1910, Heft 2.
Vgl. S. 232, insbesondere auch Fig. 135.
„Über Logarithmenpapiere und ihre Anwendung in der Elektrotechnik, besonders bei Eisenuntersuchungen“, von 0. Weisshaar. E. T. Z. 1910, S. 400.
Vgl. bezüglich des zuletzt betrachteten Gegenstandes die Schriften von Dr. A. Schreiber: „Über Logarithmenpapiere“, Zentralblatt der Bauverwaltung 1909, S. 574 und „Über Logarithmenpapiere und deren Anwendung“, Zeitschr. f. Vermessungswesen 1910, Heft 4.
Als „doppeltes Logarithmenpapier“ bezeichnen wir kurz dasjenige mit logarithmischer Teilung auf beiden Achsen im Gegensatz zum „einfachen Logarithmenpapier“ mit nur einer logarithmischen Achseneinteilung neben der „gleichförmigen“ der anderen Achse.
Dies ist auch der Fall bei obigen Fällen für Werte von x bzw. y, die zwischen 0 und 1 liegen, dort jedoch nebensächlich auftraten und daher unberücksichtigt blieben.
vom griechischen „νόμος“, lat. geschrieben „nomos“, d. h. das Gesetz. „Nomo-graphie“, von M. d’Ocagne eingeführte Bezeichnung der Lehre von der geometrischen (zeichnerischen) Darstellung gesetzmäßiger Abhängigkeiten zwischen veränderlichen Größen (von Funktionen).
S. 216/17.
Vgl. hierzu auch Klein: „Anwendg. d. Diff.-u. Integr.-Rechng. a. Geom.“ S. 5, 257.
Vgl. S. 147/48.
S. 155.
S. 369 u. ff.
Näheres über diese Begriffe folgt später; vgl. S. 319, 342, 367/68.
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