Algebra

Zusammenfassung

Unter einer Permutation von n Dingen, die man sich durch die natürlichen Zahlen 1, 2,..., n gegeben denken kann, versteht man entweder irgendeine andere Anordnung i ₁, i ₂, ..., i _n derselben Dinge oder aber die Operation, welche die natürliche Anordnung 1, 2,..., n in die Anordnung i ₁, i ₂, ..., i _n überführt. Die Anzahl aller möglichen Permutationen von n Dingen ist 1.2... n = n! Man schreibt die Permutationen mit Hinblick auf die zweite Interpretation $\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {1 2 \ldots n} \\ {{i_1} {i_2} \ldots {i_n}}\end{array}} \right)$, d. h. 1 geht in i ₁ über, 2 in i ₂ usw. Ist k ₁, k ₂,..., k _n eine andere Anordnung, so ist offenbar $\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1 & 2 & \ldots & n \\ {{{k}_{1}}} & {{{k}_{2}}} & \ldots & {{{k}_{n}}} \\ \end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{i}_{1}}} & {{{i}_{2}}} & \ldots & {{{i}_{n}}} \\ {{{k}_{{{{i}_{1}}}}}} & {{{k}_{{{{i}_{2}}}}}} & \ldots & {{{k}_{{{{i}_{n}}}}}} \\ \end{array} } \right)$. Führt man die beiden Permutationen $\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {1 2 \ldots n} \\ {{i_1} {i_2} \ldots {i_n}}\end{array}} \right)$ und $\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {1 2 \ldots n} \\ {{k_1} {k_2} \ldots {k_n}}\end{array}} \right)$in dieser Reihenfolge nacheinander aus, so ist das Resultat, das als Produkt der beiden Permutationen bezeichnet wird, wieder eine Permutation, und zwar ist

$$\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{1 2 \ldots n} \\ {{i_1} {i_2} \ldots {i_n}}\end{array}} \right) \bullet \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {1 2 \ldots n} \\ {{k_1} {k_2} \ldots {k_n}}\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {1 2 \ldots n} \\ {{k_i}_{_1} {k_{{i_2}}} \ldots {k_{{i_n}}}} \end{array}} \right)$$

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