Zusammenfassung
Durch die Betrachtungen des vorangehenden Kapitels über die topologisch und konform invarianten Grundeigenschaften der Riemannschen Flächen ist das Fundament für eine Entwicklung der Funktionentheorie und der Potentialtheorie auf einer solchen Fläche geschaffen worden. Im vorliegenden Kapitel sollen gewisse allgemeine Begriffe und Prinzipien der Funktionentheorie zusammengestellt werden, welche für unsere späteren, mehr in Einzelheiten gehenden Erörterungen erforderlich sind.
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Dies folgt daraus, daß die von f(z) bewirkte Abbildung eine Spurabbildung ist.
Diese Einschränkung ist unwesentlich und wird nur der Übersichtlichkeit halber gemacht; ist sie nicht erfüllt, so ändert sich der Beweis nur unwesentlich.
In Kap. VIII wird sich ergeben, daß man auf diese Art alle Flächen der Charakteristik χ =- 0 erhält.
Es werden zu einem festen Punkt P nur solche Parameterumgebungen betrachtet, für welche der Durchschnitt von je zweien zusammenhängend ist.
Man beachte wohl, daß der Integrand, zumindest der zweite Summand, außer vom Parameter z, noch vom Kurvenparameter t abhängt ; das ganze Integral ist dagegen auch vom Parameter t unabhängig. Wir denken uns den Kurvenparameter t festgehalten.
Dies bedeutet, daß die lokalen Parameter auf R differenzierbare Funktionen der lokalen Parameter auf R* sind.
Dies ist der Inhalt folgenden Satzes der ebenen Topologie : Ist φ eine stetige Abbildung eines abgeschlossenen Dreiecks in die Zahlenebene und P ein Punkt, der nicht zur Bildmenge gehört, so ist die Umlaufszahl der Bildkurve des Randes um den Punkt P gleich Null.
In Kap. VIII wird sich zeigen, daß man jede Riemannsche Fläche sogar so triangulieren kann, daß die 1-Simplexe analytische Bögen sind.
Die obige Herleitung verläuft ganz analog zu der der Gauss-Bonnetschen Formel der Differentialgeometrie. In der Tat, führt man auf der Fläche R eine Metrik ein mit ǀφǀǀdzǀ als Bogendifferential, so erhält man für die GAusssche Krümmung den Ausdruck (math) dieser verschwindet in allen φφ2 Punkten, wo φ ≠ 0 und φ ≠ ∞. Entsprechend erhält man für die geodätische Krümmung einer Kurve z (t) den Ausdruck (math). Schließt man dann z2 die Singularitäten von K durch 2-Simplexe aus und wendet auf die restliche (berandete) Fläche die Gauss-Bonnetsche Formel an, so erhält man die obige Beziehung.
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Nevanlinna, R. (1967). Funktionentheoretische Grundsätze. In: Uniformisierung. Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, vol 64. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-88561-7_4
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