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Außerwesentlich singuläre Stellen zweiter Art

  • Ludwig Bieberbach
Part of the Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften book series (GL, volume 66)

Zusammenfassung

Es werden Differentialgleichungen
$$ \frac{{dw}} {{dz}} = \frac{{R(w,z)}} {{S(w,z)}} $$
(4.1.1)
in der Umgebung des Punktes (w, z) = (0, 0) betrachtet. Dabei wird angenommen, daß R (w, z) und S (w, z) an der Stelle (0, 0) beide regulär sind und daß R (0, 0) = S (0, 0) = 0 ist. Zunächst soll der Fall betrachtet werden, daß für die Entwicklungen bei (0, 0)
$$ \left. \begin{gathered} R(w,z) = aw + bz + P(w,z),\quad P(w,z) = \sum {{p_{\alpha \beta }}{w^\alpha }{z^\beta },} \hfill \\ S(w,z) = cw + dz + Q(w,z),\quad Q(w,z) = \sum {{q_{\alpha \beta }}{w^\alpha }{z^\beta },} \hfill \\ \alpha ,\beta = 0,1,...,\alpha + \beta \underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{ \geqslant } 2 \hfill \\ \end{gathered} \right\} $$
(4.1.2)
gilt. Es soll untersucht werden, inwieweit die Glieder erster Ordnung der Entwicklung für den Verlauf der Integrale in der Nähe von (0, 0) verantwortlich sind. Daß das nicht schlechthin der Fall sein kann, zeigen schon Beispiele wie dieses
$$ \frac{{dw}} {{dz}} = \frac{{{w^2}}} {{{z^2}}} $$
(4.1.3)
.

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Literatur

  1. 1.
    Siehe z. B. L. Bieberbach: Lehrbuch der Funktionentheorie, Bd. 1, 4. Aufl., S. 190f. Leipzig 1934. (Implizite Funktionen.)MATHGoogle Scholar
  2. 1.
    Für irrationale λ 1/λ 1 hat George David Birkhoff 1929 (Sitzber. Preuß. Akad. Wiss.) und zusammen mit F. R. Bamforth (Am. Trans. 32) durch Abänderung des Klassenbegriffes zeigen können, daß alle Differentialgleichungen zur gleichen Klasse gehören. Es wird dabei zugelassen, daß der analytische Charakter der Abbildung im singulären Punkte unterbrochen ist.Google Scholar

Copyright information

© Springer-Verlag Berlin · Göttingen · Heidelberg 1965

Authors and Affiliations

  • Ludwig Bieberbach

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