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Membrantheorie der Drehschalen

  • Wilhelm Flügge

Zusammenfassung

In diesem Kapitel wollen wir eine spezielle Klasse von Schalen untersuchen, die in den verschiedensten Gebieten der Technik immer wieder auftritt, ganz besonders im Behälter- und im Kuppelbau. Eine Drehfläche entsteht bekanntlich, wenn sich eine ebene Kurve um eine in ihrer Ebene liegende Gerade dreht. Die erzeugende Kurve nennen wir Meridian, die Ebene, in der sie liegt, und die auch die Schalenachse enthält, Meridianebene. Ein Schalenpunkt ist bestimmt durch Angabe des Meridians, auf dem er liegt, und durch eine längs des Meridians veränderliche Koordinate. Den Meridian kennzeichnen wir durch den Winkel ϑ, den seine Ebene mit einer festen Meridianebene einschließt, und als zweite Koordinate wählen wir den Winkel φ der Schalennormalen gegen die Lotrechte. Wenn die Fläche eine Kugel ist, geht das Koordinatensystem in das geographische über: ϑ ist die Länge, φ das Komplement der Breite. Die Linien φ = const sollen deshalb Breitenkreise heißen.

Literaturübersicht

Abschnitte 1 und 2

  1. Herleitung der Differentialgleichungen und Behandlung von Beispielen in den unter I, 1 und 2 aufgeführten Lehrbüchern. Ein nichtlineares Problem großer Verzerrungen findet man bei E. Bromberg, J. J. Stoker: Nonlinear theory of curved elastic sheets. Quart. Appl. Math. Bd. 3 (1945) S. 246. In dieser Arbeit wird gezeigt, daß es für eine Membranschale mit großen Formänderungen ein Randstörungsproblem gibt, das mit demjenigen der Biegetheorie gewisse Ähnlichkeiten aufweist.MathSciNetMATHGoogle Scholar

Abschnitt 3

  1. Zur Theorie der Kuppel gleicher Festigkeit vergleiche man O. Megareus: Die Kuppel gleicher Festigkeit. Bauingenieur Bd. 20 (1939) S. 232.Google Scholar
  2. Eine Verallgemeinerung der Fragestellung gab H. Ziegler: Kuppeln gleicher Festigkeit. Ing.-Arch. Bd. 26 (1958) S. 378. Er ersetzt die Bedingung σ φ = σ ϑ durch die Fließbedingung nach Tresca-Mohr.MATHCrossRefGoogle Scholar
  3. Ein numerisches Verfahren zur Berechnung von Tropfenbehältern ist ausführlich dargestellt in C. Runge u. H. König: Vorlesungen über numerisches Rechnen, S. 320. Berlin 1924.MATHCrossRefGoogle Scholar
  4. Zahlenergebnisse findet man bei C. Codegone: Serbatoi a involucro uniformamente teso. Ann. Lav. pubbl. Bd. 79 (1941) S. 179.Google Scholar
  5. Interessante Versuchsergebnisse bei C. A. Bouman: Sterkteproeven met een spheroid tank. De Ingenieur Bd. 53 (1938) S. P39.Google Scholar
  6. Die gleichzeitige Wirkung von Wasserdruck und Eigengewicht behandelt V. DaŠek: Zur Berechnung von Behälterböden gleicher Festigkeit. Beton u. Eisen Bd. 36 (1937) S. 54.Google Scholar
  7. In einer Arbeit von F. Tölke: Über Rotationsschalen gleicher Festigkeit für konstanten Innen- und Außendruck, Z. angew. Math. Mech. Bd. 19 (1939) S. 338, werden die Formen von Gasbehältern gleicher Festigkeit entwickelt. Mit Ausnahme des trivialen Falles der Kugelschale müssen diese Behälter Abschlußböden haben, und der Axialzug in der Schale ist nicht gleich der Resultierenden des Druckes auf den Boden.MATHCrossRefGoogle Scholar
  8. Eine zusammenfassende Darstellung des Problems der Schalen gleicher Festigkeit gibt K. Federhofer: Über Schalen gleicher Festigkeit. Bauingenieur Bd. 20 (1939) S. 366.Google Scholar

Abschnitt 4

  1. Die Theorie der unsymmetrisch beanspruchten Rotationsschalen beginnt mit der Arbeit von H. Reissner: Spannungen in Kugelschalen (Kuppeln). Müller-Breslau-Festschrift, S. 181. Leipzig 1912. Sie wurde fortgeführt von F. Dischinger: Schalen und Rippenkuppeln (in F. Emperger: Handbuch für Eisenbetonbau, Bd. 6, 4. Aufl. Berlin 1928) und: Die Rotationsschalen mit unsymmetrischer Form und Belastung. Bauingenieur Bd. 16 (1935) S. 374.Google Scholar
  2. Kritische Bemerkungen zu dieser Arbeit und eine Weiterführung der Theorie gab P. Neményi: Beiträge zur Berechnung der Schalen unter unsymmetrischer und unstetiger Belastung. Bygningsstat. Medd. Bd. 8 (1936) S. 53.Google Scholar
  3. Eine gründliche mathematische Untersuchung des Problems findet sich in zwei Arbeiten von C. Truesdell: The membrane theory of shells of revolution. Trans. Amer. Math. Soc. Bd. 58 (1945) S. 96MathSciNetMATHGoogle Scholar
  4. C. Truesdell: On the reliability of the membrane theory of shells of revolution. Bull. Amer. math. Soc. Bd. 54 (1948) S. 994.MathSciNetMATHCrossRefGoogle Scholar
  5. Weitere Beiträge grundsätzlicher Art: E. Reissner: Note on the membrane theory of shells of revolution. J. Math. Phys. Bd. 26 (1948) S. 290MathSciNetMATHGoogle Scholar
  6. W. Zerna: Zur Membrantheorie der allgemeinen Rotationsschalen. Ing.-Arch. Bd. 17 (1949) S. 223.MathSciNetMATHCrossRefGoogle Scholar
  7. Über Schalen negativer Krümmung siehe W. Flügge: Zur Membrantheorie der Drehschalen negativer Krümmung. Z. angew. Math. Mech. Bd. 25 (1947) S. 65CrossRefGoogle Scholar
  8. R. Sauer: Geometrische Bemerkungen zur Membrantheorie der negativ gekrümmten Schalen. Z. angew. Math. Mech. Bd. 28 (1948) S. 198MathSciNetMATHCrossRefGoogle Scholar
  9. R. Rabich: Die Membrantheorie der einschalig hyperbolischen Rotationsschalen. Baupl. u. Bautechn. Bd. 7 (1953) S. 310.Google Scholar
  10. Die singulären Lösungen für die Kugelschale stammen von F. Martin: Die Membran-Kugelschale unter Einzellasten. Ing.-Arch. Bd. 17 (1949) S. 167MathSciNetMATHCrossRefGoogle Scholar
  11. siehe auch V. Z. Vlassov: Membrantheorie dünner Rotationsschalen (russ.). Appl. Math. Mech. Bd. 11 (1947) S. 397.Google Scholar

Abschnitte 5 und 6

  1. Die mathematische Theorie der dehnungslosen Verbiegung findet man in allen Lehrbüchern der Differentialgeometrie. Zu einer Anwendung auf Schalen scheint vor allem die angenäherte Berechnung von Eigenfrequenzen (s. X, 1) Anlaß gegeben zu haben. Die auf S. 75 dargestellte Lösung für die Kugelschale stammt von Lord Rayleigh: Theory of Sound, Bd. 1, 2. Aufl., S. 422. London 1894.Google Scholar
  2. Eine entsprechende Rechnung für Kegelschalen enthält die unter X, 1 zitierte Arbeit von M. J. O. Strutt. Beispiele für Schalen, die trotz starrer Lagerung ihres Randes dehnungsloser Verbiegungen fähig sind: St. Cohn-Vossen: Über unstarre geschlossene Flächen. Math. Ann. Bd. 102 (1930) S. 10.MathSciNetCrossRefGoogle Scholar
  3. Die unter II, 4 zitierte Arbeit von F. Martin enthält auch die Lösung der zugehörigen Formänderungsaufgabe.Google Scholar
  4. Die Unverträglichkeit der Membranformänderungen in Ringschalen fand W. R. Dean: The distorsion of a curved tube due to internal pressure. Phil. Mag., VII. ser., Bd. 28 (1939) S. 452.MathSciNetGoogle Scholar

Copyright information

© Springer-Verlag OHG, Berlin/Göttingen/Heidelberg 1962

Authors and Affiliations

  • Wilhelm Flügge
    • 1
  1. 1.Stanford UniversityUSA

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