Advertisement

Parametrische lineare Programmierung

  • Werner Dinkelbach
Part of the Ökonometrie und Unternehmensforschung / Econometrics and Operations Research book series (ÖKONOMETRIE, volume 12)

Zusammenfassung

Die Behandlung der verschiedenartigen Probleme der parametrischen linearen Programmierung wird zunächst für die Sonderfälle vorgenommen, bei denen der Parameter entweder nur in der Zielfunktion oder nur im Begrenzungsvektor oder nur in der Koeffizientenmatrix auftritt. Selbstverständlich sind die drei genannten Unterfälle in dem Abschnitt 5.4, in welchem alle drei Möglichkeiten gleichzeitig untersucht werden, enthalten. Ihre getrennte Behandlung vorab läßt sich jedoch nicht nur aus didaktischen Gründen rechtfertigen, sondern auch aus der Tatsache, daß sich für die genannten drei Sonderfälle besondere charakteristische Eigenschaften, z.B. die Konvexität der Funktion der Maxima in Abhängigkeit eines Parameters in der Zielfunktion, beweisen lassen, die bei der gleichzeitigen Betrachtung eines Parameters in Zielfunktion, Begrenzungsvektor und Koeffizientenmatrix verlorengehen. Die Berücksichtigung mehrerer Parameter führt sehr schnell zu rechnerischen und interpretatorischen Schwierigkeiten, worauf im Abschnitt 5.5 eingegangen wird.

Preview

Unable to display preview. Download preview PDF.

Unable to display preview. Download preview PDF.

References

  1. 1.
    Saaty-Gass [1954]. Vgl. hierzu auch die Besprechung einer Arbeit von Courtillot ([1962]) durch Galliher ([1963]).Google Scholar
  2. 2.
    Dorfman [1953], S.823.Google Scholar
  3. 3.
    Manne [1953], S. 7 (Θ = Vektor aus mehreren Parametern).Google Scholar
  4. 4.
    Puterbaugh-Kehrberg-Dunbar [1957], S. 478.Google Scholar
  5. 5.
    Vgl. u.a. Manne [1956], S.172ff.; Heady-Candler [1958], S.265ff.; Vajda [1960], S. 76 ff; Arnoff-Sengupta [1961], S. 177ff.; Hadley [1962], S. 380ff; Gass [1964], S. 123 ff.; Lesourne [1964], S.491ff.; Joksch [1965], S.lOlff.; KREKó [1965], S.220ff.Google Scholar
  6. 6.
    Hierzu setze man amN= 0 (m = 0, …,M) und xN=1, so daß die Zielfunktion dann den Summanden bNtenthält. Vgl. auch das Beispiel im Abschnitt 5.1.3.Google Scholar
  7. 7.
    Die Abkürzung PLPZf steht für „Parametrisches lineares Programm mit einem Parameter in der Zielfunktion“. In analoger Weise sind die Abkürzungen der nachfolgenden Abschnitte zu interpretieren.Google Scholar
  8. 8.
    Vgl. Definition 2.2, S. 29. — Geoffrion ([1967 b], S. 41) bezeichnet jede Vektorfunktion x(t), deren Funktionswerte in der Bildmenge der Vektorrelation x(t) enthalten sind, als „optimal solution function“.Google Scholar
  9. 9.
    Vgl. Abschnitt 4.1.1, S. 71ff.Google Scholar
  10. 10.
    Vgl. Satz 5.13, S. 139.Google Scholar
  11. 11.
    Vgl. Satz 5.14, S. 140.Google Scholar
  12. 12.
    Vgl. Satz 5.15, S. 140.Google Scholar
  13. 13.
    Vgl. Satz 5.16, S. 140.Google Scholar
  14. 14.
    Vgl. Satz 5.17, S. 140.Google Scholar
  15. 15.
    Es seien X, Y euklidische Räume und f eine Relation von X in Y f heißt oberhalb halbstetig, wenn für Vgl. Debreu [1959], S.17; s. auch Tabelle 5.2, S. 98.Google Scholar
  16. 16.
    Vgl. u.a. Manne [1956], S. 157; Arnoff-Sengupta [1961], S. 178; Boot [1963], S. 781; Gass [1964], S. 126; KREKó [1965], S. 89 und S. 221.Google Scholar
  17. 17.
    Die Vermutung, daß ein Problem (PLPZf) mit einem nichtleeren zulässigen Bereich für wenigstens ein teE1 eine optimale Lösung besitzt, wird durch folgendes Beispiel, bei welchem der zulässige Bereich nicht beschränkt ist, widerlegt. Für dieses Beispiel existiert ^zZf(t) nicht: Maximiere unter den Nebenbedingungen.Google Scholar
  18. 18.
    Vgl. S. 51.Google Scholar
  19. 19.
    Vgl. Satz 5.2, S. 93.Google Scholar
  20. 20.
    Zur Illustration des Satzes 5.5, der von „Relationen“ ^xn(t) spricht, sei auf folgendes Beispiel verwiesenGoogle Scholar
  21. 21.
    Heady-Candler [1958], S. 265.Google Scholar
  22. 22.
    Heady-Candler [1958], S. 269 ff.Google Scholar
  23. 23.
    Vgl. Abschnitt 3.1.3, S. 53 ff.Google Scholar
  24. 24.
    Dorfman [1953], S. 823 f.Google Scholar
  25. 25.
    Manne [1956], S. 174ff.Google Scholar
  26. 26.
    Vgl. u.a. Heady-Candler [1958], S.232 ff.; Garvin [1960], S. 220 ff.; Hadley [1962], S.382ff.; Gass [1964], S.129ff.; Lesourne [1964], S. 493 ff.; Llewellyn [1964], S. 248 ff.; Joksch [1965], S. 113ff.Google Scholar
  27. 27.
    Vgl. Abschnitt 4.1.2, S. 74ff.Google Scholar
  28. 28.
    Vgl. Satz 5.18, S. 146.Google Scholar
  29. 29.
    Vgl. Satz 5.19, S. 146.Google Scholar
  30. 30.
    Vgl. Satz 5.20, S. 146.Google Scholar
  31. 31.
    Vgl. Satz 5.21, S. 146.Google Scholar
  32. 32.
    Vgl. Satz 5.22, S. 147.Google Scholar
  33. 33.
    Ein Beispiel ohne zulässige Lösungen ist das folgende ProgrammGoogle Scholar
  34. 34.
    Vgl. S. 48.Google Scholar
  35. 35.
    Soll ein Problem (PLPBg) für alle tE1 gelöst werden, ist analog dem für das Problem (PLPzf) angegebenen Verfahren vorzugehen.Google Scholar
  36. 36.
    Vgl. S. 59.Google Scholar
  37. 37.
    Vgl. Förstner-Henn [1957], S.119ff.; Charnes-Cooper-Miller [1959], S.27ff.; ferner die vergleichende Analyse bei Seelbach [1967].Google Scholar
  38. 38.
    Manne [1956], S. 166 ff.; vgl. auch Weingartner [1963], S. 131.Google Scholar
  39. 39.
    MASSé-Gibrat [1957], S. 164; die parametrische Behandlung des Beispiels dieses Aufsatzes erfolgte bei Courtillot [1961], S. 292 und [1962], S. 474.Google Scholar
  40. 40.
    Albach [1962a], u. a. S. 107 ff. und S. 217ff.Google Scholar
  41. 41.
    Zu weiteren Einzelheiten dieses Beispiels vgl. Albach [1962 a], S. 93 ff.Google Scholar
  42. 42.
    Albach [1962a], S. 107.Google Scholar
  43. 43.
    Candler [1956], S. 940.Google Scholar
  44. 44.
    Vgl. Kelley-Walker [1959], S. 165.Google Scholar
  45. 45.
    Vgl. Kelley [1961], S. 307 ff.; Prager [1963].Google Scholar
  46. 46.
    König-Thoss [1965], S. 410.Google Scholar
  47. 47.
    Heady-CANDLER[1958],S.528ff.Google Scholar
  48. 48.
    Shetty [1959b]; Simonnard [1962], S.157ff.; Müller-Merbach [1967]; GáL [1967], [1968 a] und [1968 b]; DANØ [1968].Google Scholar
  49. 49.
    Courtillot [1958], S. 672.Google Scholar
  50. 50.
    Vgl. Courtillot [1962].Google Scholar
  51. 51.
    Vgl. Saaty [1959]; femer Abschnitt 5.4.3, S. 124 ff.Google Scholar
  52. 52.
    Vgl. Ritter [1962], S. 102 f.Google Scholar
  53. 53.
    Vgl. Müller-Merbach [1967].Google Scholar
  54. 54.
    Vgl. dazu auch GáL [1968 a].Google Scholar
  55. 55.
    Vgl. S. 51.Google Scholar
  56. 56.
    Man beachte hierbei, daß alle Koeffizienten Funktionen von t sein können. Nur bei der Pivotauswahl ist t = tp zu setzen.Google Scholar
  57. 57.
    Vgl. S. 59.Google Scholar
  58. 58.
    Hierbei ist zu beachten, daß gegebenenfalls kritische Werte, die zwischen tπ9und tπ9 + π ε liegen, nicht berücksichtigt werden. Durch hinreichend kleines ε kann man das so nicht erfaßte Intervall beliebig klein machen.Google Scholar
  59. 59.
    Saaty [1959], S. 295ff.Google Scholar
  60. 60.
    Die Bestimmung von kann gleich an dieser Stelle erfolgen, da rechts von t0= + 1) kein endlicher kritischer Wert liegt.Google Scholar
  61. 61.
    Die zuletzt durchgeführten Vorzeichenuntersuchungen hätte man sich bei diesem Beispiel sparen können, indem man von vornherein alle Basen (es existieren (4/2) = 6) bestimmt hätte. Die sechste Basis, die in der Tabelle 5.9 nicht enthalten ist, stellt für kein t eine optimale Basislösung dar.Google Scholar
  62. 62.
    Albach [1962b]; Jacob [1962]. Zu Fragen betrieblicher Anpassungsformen vgl. insbesondere Gutenberg [1968], S. 342 ff.Google Scholar
  63. 63.
    Albach [1962b], S. 87.Google Scholar
  64. 64.
    Griffith-Stewart [1961].Google Scholar
  65. 65.
    Albach [1962b], S. 88f.Google Scholar
  66. 66.
    Hax [1961], S. 424; vgl. auch Steinmann [1963].Google Scholar
  67. 67.
    Gutenberg [1967], S. 227.Google Scholar
  68. 68.
    Vgl. Hax [1961], S.437f.Google Scholar
  69. 69.
    Vgl.HAx[1961],S.440f.Google Scholar
  70. 70.
    Vgl. Hax [1961], S. 441.Google Scholar
  71. 71.
    Von Interesse ist vielleicht noch eine genauere Angabe von ^x3(t)Google Scholar
  72. 72.
    Hildreth-Reiter [1951], S. 185.Google Scholar
  73. 73.
    Hildreth-Reiter [1951], S. 185.Google Scholar
  74. 74.
    Hildreth [1955], S. 90.Google Scholar
  75. 75.
    Fisher-Schruben [1953], S. 479.Google Scholar
  76. 76.
    Bishop [1956], S. 404.Google Scholar
  77. 77.
    Hildreth [1955], S. 91.Google Scholar
  78. 78.
    Saaty [1959], S. 195; Gass-Saaty [1955a]; s.a. Wolfe [1963]; Simons [1962].Google Scholar
  79. 79.
    Heady-Candler [1958], S.243 ff. und S. 283 ff.; Joksch [1965], S.108ff. und S.116ff.Google Scholar
  80. 80.
    An dieser Stelle wird deutlich, daß der Fall, bei dem die Koeffizienten eines linearen Programms rationale Funktionen von t sind, hier mit eingeschlossen ist.Google Scholar
  81. 81.
    Vgl. SOKOLOVá [1968], S. 60ff.Google Scholar
  82. 82.
    Kern [1963], S. 69.Google Scholar
  83. 83.
    Vgl. hierzu auch die Definition verallgemeinerter linearer Programme bei Dantzig [1966], S. 491.Google Scholar
  84. 84.
    Vgl. S. 67.Google Scholar
  85. 85.
    Vgl. Satz 3.3, S. 67.Google Scholar
  86. 86.
    Vgl. auch Moeseke-Tintner [1964], S. 78.Google Scholar
  87. 87.
    Hierbei wird vorausgesetzt, daß das r-te Tableau in kanonischer Form mit vorliegt.Google Scholar
  88. 88.
    Vgl. auch Simons [1962], S. 356; Wolfe [1963].Google Scholar
  89. 89.
    Vgl. auch Charnes-Cooper [1963 a], S. 34; Mangasarian [1964], S. 354f.Google Scholar
  90. 90.
    Vgl. Schubert [1964], S. 27.Google Scholar
  91. 91.
    Vgl. Fußnote 15 auf S. 93.Google Scholar
  92. 92.
    Vgl. auch Geoffrion [1967 b], S. 44.Google Scholar
  93. 93.
    Vgl. S. 16.Google Scholar
  94. 94.
    Minimiere unter den NebenbedingungenGoogle Scholar
  95. 95.
    Auf die Wiedergabe der Berechnungen der Unterprogramme zu den Tableaus 4, 5 und 6 des Hauptprogramms wird verzichtet.Google Scholar
  96. 96.
    Vgl. Satz 5.13, S. 139.Google Scholar
  97. 97.
    Vgl. auch Wolfe [1963].Google Scholar
  98. 98.
    Vgl. S. 67.Google Scholar
  99. 99.
    Vgl. auch Kelley [1961], S. 307; Charnes-Cooper [1963a], S.35; Bereanu [1965], S. 116.Google Scholar
  100. 100.
    Vgl. auch Madansky [1960], S. 198; Bereanu [1965], S. 117. Zum Beweis vgl. Satz 5.16, S. 140.Google Scholar
  101. 101.
    Vgl. S. 53 ff.Google Scholar
  102. 102.
    Vgl. S. 54.Google Scholar

Copyright information

© Springer-Verlag Berlin · Heidelberg 1969

Authors and Affiliations

  • Werner Dinkelbach
    • 1
  1. 1.Fachbereich WirtschaftswissenschaftUniversität RegensburgRegensburgDeutschland

Personalised recommendations