Fourier-Transformation und Spline-Interpolation in der Signalverarbeitung

Zusammenfassung

Wie in Abschnitt 2.4.1 dargestellt worden ist, geht man bei der digitalen Signalverarbeitung im allgemeinen davon aus, daß die zu verarbeitenden analogen Signale bandbegrenzt sind und mit hinreichend hoher Frequenz abgetastet werden. Man wird in der Regel auf die Vorteile, die damit verbunden sind, nicht verzichten wollen. Das sind insbesondere die leichte Herstellbarkeit bandbegrenzter Signale durch Filterung, die einfache Beziehung zwischen Signalspektrum und DFT der Abtastwerte und die Erhaltung der Bandbegrenzung bei Faltung und Korrelation. Jedoch gibt es eine Reihe von Anwendungen, wo die Bandbegrenzung mit den bestehenden oder gewünschten Signaleigenschaften unvereinbar ist oder zumindest stort. So zeigt die Shannonsche Interpolationsformel (2.4–5) beispielsweise, daß bandbegrenzte Signale prinzipiell nicht bereichsweise verschwinden und somit auch nicht von endlicher Dauer bzw. kausal sein können. Weiterhin lassen sich Unstetigkeiten in den Signalen oder ihren Ableitungen, wie sie z.B. in Rechteck- oder Dreieckimpulsen auftreten, bei Bandbegrenzung nicht realisieren, denn bandbegrenzte Signale müssen unendlich oft differenzierbar sein, wie ebenfalls aus der Shannonschen Interpolationsformel hervorgeht. Schließlich kann die Voraussetzung einer Bandbegrenzung insbesondere bei Problemen der Entfaltung zu Schwierigkeiten führen (s. Abschnitt 6.5).