Einführung in die quadratische Programmierung

Zusammenfassung

Wir spezialisieren nun die Ergebnisse des vorangehenden Kapitels auf den Fall einer quadratischen Zielfunktion und linearer Nebenbedingungen. Es sei also F (x) aus Kapitel III eine konvexe quadratische Funktion, die wir in Zukunft stets mit Q (x) bezeichnen:

$$Q\left( x \right) = p'x + x'Cx$$

((4.1))

Hierbei ist C symmetrisch und positiv semidefinit. Ferner sei

$${f_j}\left( x \right) = {a'_j}x - {b_j}$$

((4.2))

Die Grundaufgabe der quadratischen Programmierung mit linearen Restriktionen lautet dann, als Minimumaufgabe formuliert: Q (x) ist zu minimieren unter den Nebenbedingungen

$${a'_j}x - {b_j} \le 0,\quad j = 1,2,...,m$$

((4.3))

$$x \ge 0$$

((4.4))

Falls bei einem in der Praxis auftretenden quadratischen Programm die Zielfunktion nicht minimiert, sondern maximiert werden soll, oder falls in einigen der Nebenbedingungen statt des Zeichens ≦ das Zeichen ≧ steht, so kann man ein solches Programm immer auf die obige Grundform bringen, indem man die Zielfunktion bzw. die aus der Reihe fallenden Ungleichungen mit — 1 durchmultipliziert.