Das Verfahren der zulässigen Richtungen von Zoutendijk

Zusammenfassung

Betrachtet man verschiedene Gradientenverfahren, so stellt man fest, daß bei allen das Vorgehen gewisse Ähnlichkeiten aufweist. Nehmen wir nochmals eine konkave (nicht notwendig quadratische) Zielfunktion Q, die zu maximieren sei unter den Nebenbedingungen

$${\bf{a}}{\prime _j}{\bf{x}} \leqq {b_j},j = {\text{ 1}},{\text{ 2}},...,m.$$

(12.1)

Von Q setzt man voraus, daß die Funktion einen stetigen Gradienten

$$\nabla Q\left( x \right) = g\left( x \right){\left\| {\frac{{\partial Q}}{{\partial {x_{1}}}},\frac{{\partial Q}}{{\partial {x_{2}}}}, \ldots \frac{{\partial Q}}{{\partial {x_{n}}}}} \right\|^{\prime }}$$

(12.2)

über dem durch die Nebenbedingungen gegebenen zulässigen Bereich R besitzt. Das allgemeine Vorgehen bei Gradientenmethoden besteht nun darin, daß man mit einem beliebigen zulässigen Punkt x⁰ startet. Um vom k-ten Iterationspunkt x^k zu x ^k+1 zu gelangen, bestimmt man in x^k eine Richtung s^k derart, daß für genügend kleine λ > 0 der Strahl x^k +λ s^k noch in R liegt. Notwendig und hinreichend dafür ist, daß

$${a'_{j}}{s^{k}}\underline{\underline < } 0{\text{ }}f\ddot{u}r{\text{ }}alle{\text{ }}j \in S,$$

(12.3)

wobei S die Menge derjenigen Indizes j darstellt, für die

$${\bf{a}}{\prime_j}{{\bf{x}}^k}={b_j}$$

(12.4)

Eine solche Richtung heiße zulässig. Ferner muß der Q-Wert längs des Strahls für kleine λ wenigstens anwachsen, was die Bedingung

$${s^{{k'}}}g\left( {{x^{k}}} \right) > 0$$

(12.5)

liefert.