Das Verfahren der projizierten Gradienten von Rosen

Zusammenfassung

Wenn bei einem quadratischen Programm ein Punkt x⁰ des zulässigen Bereiches noch nicht die Lösung darstellt, so kann man versuchen, sich von x⁰ aus in Richtung des Gradienten der Zielfunktion zu bewegen, um einen zulässigen Punkt mit einem höheren Funktionswert (bei der Maximumaufgabe) zu erhalten. Wenn x⁰ ein innerer Punkt ist, so ist das immer möglich. Ist aber x⁰ ein Randpunkt des zulässigen Bereiches, so kann dieses Vorgehen versagen, weil der Gradient vom zulässigen Bereich aus gesehen nach außen hin weist. Das Verfahren von Rosen [1, 2] besteht nun darin, daß man den Gradienten auf den Rand des zulässigen Bereiches projiziert und sich, statt in Richtung des Gradienten, in Richtung des projizierten Gradienten bewegt, wodurch man zunächst noch auf dem Rand des zulässigen Bereiches bleibt, ohne diesen zu verlassen. Genauer projiziert man den Gradienten auf eine gewisse lineare Teilmannigfaltigkeit des Randes, etwa auf die Teilmannigfaltigkeit geringster Dimension, auf der x⁰ noch liegt. Im Dreidimensionalen ist beispielsweise der zulässige Bereich ein Polyeder und der Rand besteht aus Mannigfaltigkeiten der Dimension 2 (Seitenflächen), der Dimension 1 (Kanten) und der Dimension 0 (Ecken). Falls x⁰ auf einer Seitenfläche liegt, aber nicht auf einer Kante, so projiziert man den Gradienten auf die Seitenfläche, falls aber x⁰ auf einer Kante liegt, projiziert man auf die Kante. Für Punkte x⁰ im Innern des zulässigen Bereiches fällt das Verfahren von Rosen mit der gewöhnlichen Gradientenmethode zusammen.