K-Cardinality Subgraphs

Zusammenfassung

Es wird das Problem betrachtet einen zusammenhängenden Teilgraphen S eines gegebenen Graphen G = (V,E) zu finden, der genau k Kanten enthält und minimal bezüglich der Kantengewichte w(e) ∈ ℝ ist. Nachdem wir gezeigt haben, daß das Problem NP-schwer ist geben wir eine Formulierung als ganzzahliges Programm an. Es wird gezeigt, daß einige Klassen von gültigen Ungleichungen Facetten des zugehörigen Polytops definieren. Ebenso wird ein Algorithmus für das Separationsproblem für die wichtigste Klasse von Ungleichungen angegeben, der in einem Branch-und-Cut Verfahren implementiert wurde. Schließlich werden die Resultate dieses Algorithmus mit einer Heuristik verglichen, die auf dem Algorithmus von Prim beruht.

Summary

The problem of finding a connected subgraph S of a given graph G = (V,E) containing exactly k edges which is minimal with respect to edge weights w(e) ∈ ℝ is considered. After stating that the problem is NP-hard an integer programming formulation will be given. Some classes of inequalities are shown to be facet-defining for the corresponding polytope. An algorithm for the separation problem for the most important class of inequalities is given which has been implemented in a branch-and-cut approach. Finally the results of this algorithm are compared with a heuristic based on Prim’s algorithm.

Partially supported by a grant of the Deutsche Forschungs Gemeinschaft and grant ERBCHRXCT930087 of the European HC&M Programme