The Estimation of Ratios and Related Quantities

Abstract

The estimation of a parameter α is considered for a family of problems giving rise to likelihood functions of α that are determined by the ratio of two quadratic functions of α. This family contains a number of problems arising in practice that have an extensive and controversial literature. The reason for this controversy may be that, although a parent normal distribution is assumed, the resulting likelihood functions have some curious properties. These militate against the widespread application of estimation in terms of point estimates with minimum variance, squared error loss functions, etc. Several examples are discussed.

Zusammenfassung

Es wird die Schätzung eines Parameters α für eine Klasse von Problemen betrachtet, die zu Likelihood-Funktionen für α führen, welche sich durch das Verhältnis zweier quadratischer Funktionen von α ausdrücken lassen. Diese Klasse enthält eine Reihe praktischer Probleme, die in der Literatur ausgedehnt und kontrovers erörtert worden sind. Der Grund für diese Kontroverse mag darin liegen, dass, obwohl Normalverteilung vorausgesetzt wird, die resultierenden Likelihood-Funktionen einige eigenartige Eigenschaften aufweisen. Diese sprechen gegen die weitverbreitete Schätzung in Form von Punktschätzungen mit minimaler Varianz, quadratischer Verlustfunktion, etc. Mehrere Beispiele werden diskutiert.