Das Cauchyproblem der Helmholtzschen Wirbelgleichung mit einer Differenzennäherung

Zusammenfassung

Ein Rauchring, der uns bei einer guten Cigarre gelungen ist und eine Weile durch den Raum schwebt, soll den Anlaß geben, hier über die Anfangswertaufgabe der Helmholtzschen Gleichung

$$ \begin{array}{*{20}{c}} {\frac{\partial }{{\partial t}}w + v \cdot \nabla w = w \cdot \nabla v\;f\ddot ur\;t \geqslant 0,} \\ {w = {w_0},\nabla \cdot {w_0} = 0\;f\ddot ur\;t = 0} \\ \end{array} $$

((1.1))

nachzudenken! Darin bezeichnet

$$ v\left( {t,x} \right) = \int\limits_{{R^3}} {ro{t_x}\frac{{w\left( {t,y} \right)}} {{x - y}}dy} $$

((1.2))

den Geschwindigkeitsvektor einer instationären, reibungsfreien, inkompressiblen Strömung und

$$ w\left( {t,x} \right) = \left( {rot\;v} \right)\left( {t,x} \right) $$

((1.3))

den Wirbelvektor zur Zeit t ⩾ 0 am Ort x = (x¹,x²,x³) ∈ R³. Die Euklidische Norm ist

$$ \left| x \right| = {\left\{ {{{\left( {{x^1}} \right)}^2} + {{\left( {{x^2}} \right)}^2} + {{\left( {{x^3}} \right)}^2}} \right\}^{1/2}}. $$

((1.4))