Die Fredholmalternative

Zusammenfassung

Ist F ein Fredholmoperator im (separdblen) Hilbertraum H, so wird die Aussage index F = 0 in klassischer Terminologie gewöhnlich so umschrieben:

• Entweder besitzt die Gleichung Fu = v für jedes V € H eine eindeutige Lösung U € H, oder die homogene Gleichung Fu = 0 besitzt eine nicht-triviale Lösung. Im zweiten Fall gibt es höchstens endlich viele linear unabhängige Lösungen w₁,...,w _n von Fw = 0 und ebensoviele linear unabhängige Lösungen u₁,..., u _n der adjungierten homogenen Gleichung F* u = 0, und die inhomogene Gleichung Fu = v ist genau dann lösbar, wenn

  $${\text{ < v,}}{{\text{u}}_1} > = ... = < v,{u_n} > = 0$$

  ist.