Differentialoperatoren über Mannigfaltigkeiten

Zusammenfassung

Die moderne Begriffsbildug einer geschlossenen „Mannigfaltigkeit“ erlaubt eine Verallgemeinerung und zugleich drastische Vereinfachung des Indexproblems, nämlich die Beseitigung der Randwertbedingungen. Während z.B. die homogene Laplacegleichung Δu = 0 über der Kreisscheibe in den harmonischen Funktionen unendlich viele linear unabhängige Lösungen besitzt, wissen wir von der entsprechenden Laplacegleichung über der Kugeloberfläche, daß sie nur einen eindimensionalen Lösungsraum hat, die konstanten Funktionen. Insoweit ist mit dem Begriff der differenzierbaren Mannigfaltigkeiten nicht immer eine weitere Komplizierung der Mathematik, sondern hier z.B. eine echte erste Approximation an die „schwierigen“ *) Randwertprobleme im euklidischen Raum Rⁿ verbunden.

*) Die Mathematikentwicklung belegt immer wieder, wie im Erkenntnisprozeß Anschauliches und Unanschauliches eine Einheit bilden, einander abwechseln und ineinander übergehen. Das schlagendste Beispiel bietet wohl das berühmte Vier-Farben-Problem, das bezeichnenderweise in der Ebene auch nach seiner Computerlösung noch viele Rätsel aufgibt, während die entsprechende Fragestellung über geschlossenen Mannigfaltigkeiten schon lange keine Schwierigkeiten mehr bereitet. „Die meisten frühen Versuche zur Lösung dieses Problems basierten auf direktem Angriff; sie verfehlten nicht nur ihr Ziel, sondern lieferten auch keinerlei Beitrag an nützlicher Mathematik. Erst ein neuer und höchst indirekter Ansatz zum Färbungsproblem, der auf einer Verallgemeinerung der Kirchhoffsehen Verzweigungsregeln in völlig unvorhergesehener Richtung beruht, erwies sich im Verständnis einer Vielzahl kombinatorischer Probleme als erfolgreich. “ (Gian-Carlo ROTA, The Mathematical Sciences: A Report, 1969. Abdruck mit Genehmigung der National Academy of Sciences.)