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Moufang-Ebenen

  • Günter Pickert
Part of the Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften book series (GL, volume 80)

Zusammenfassung

Eine projektive Ebene, in welcher der kleine Desarguessche Satz gilt, wird als Moufang-Ebene bezeichnet. Die Moufang-Ebenen kann man nun auch durch eine Spezialisierung des VS-Satzes kennzeichnen, wie im folgenden gezeigt werden soll. Man beschränkt zu diesem Zweck den VS-Satz auf solche Viereckschnitte, bei denen eine der beiden möglichen Gleichheiten (s. S. 128) gilt, in denen der sechste, durch die fünf anderen zu bestimmende Punkt nicht vorkommt. Die so erhaltene Spezialisierung vom Rang 12 wird als kleiner VS-Satz bezeichnet. Eine Spezialisierung von diesem wiederum ist offenbar der kleine reduzierte VS-Satz, der aus dem reduzierten VS-Satz in der Form von S. 129/30 durch Hinzufügen der Voraussetzung C12=C21 entsteht und daher den Rang 10 hat. Unter Verwendung des Punktes B′22=βA22C22 erkennt man leicht, daß die Behauptung x(A22, B22, C22) dieses Satzes ohne Veränderung seines Gultigkeitsbereiches mit dem Voraussetzungsteil x(A12, B22, C21) vertauscht werden darf. Wie man durch Vertauschen von Cl1 mit Cl2 und von A1k mit A2k erkennt, ist daher der kleine reduzierte VS-Satz gleichwertig mit derjenigen Spezialisierung des reduzierten VS-Satzes, welche durch Hinzufügen der Voraussetzung C11=C22 entsteht. Es gilt nun der Satz:
  1. 1.

    In einer projektiven Ebene sind gleichwertig die folgenden Aussagen:

     
  2. (a)

    der kleine Desarguessche Satz;

     
  3. (b)

    der kleine VS-Satz;

     
  4. (c)

    der kleine reduzierte VS-Satz1;

     
  5. (d)

    es gibt genau eine Projektivitat der Geraden AB = AB′ (B≠B′) auf sich, welche Produkt zweier Perspektivitäten ist, nur den Punkt A festläβt und den Punkt B in den Punkt B′ überführt.

     

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Copyright information

© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1975

Authors and Affiliations

  • Günter Pickert
    • 1
  1. 1.Mathematisches InstitutJustus Liebig-Universität GießenGermany

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