Advertisement

Der Satz von Pappos

  • Günter Pickert
Part of the Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften book series (GL, volume 80)

Zusammenfassung

Als Satz von Pappos bezeichnet man den zur Thomsen-Bedingung gehörigen allgemeinen Schließungssatz, d.h. die Thomsen-Bedingung für jedes 3-Gewebe aus den Geraden dreier verschiedener Geradenbüschel. Es handelt sich also um einen konstruierbaren Schließungssatz vom Rang 10. Auf Grund der Bedeutung der Thomsen-Bedingung 19 auf S. 59 besagt der Satz von Pappos für eine projektive Ebene E die Kommutativität der Addition und Multiplikation in jedem Ternärkörper von E. Bei der Thomsen-Bedingung darf wegen ihrer Symmetrie in U, V, W mit den Bezeichnungen von Abb. 16 die Behauptung als XW=X′W angenommen werden; ferner darf man offenbar O≠X≠Y≠O voraussetzen, so daß auf Grund der Voraussetzung die vorkommenden Geradentripel der drei Büschel aus verschiedenen Geraden bestehen und daher unter den Punkten X, Y, Y′,X′, Z′, Z bei zyklischer Anordnung kein kollineares Tripel mit zwei aufeinanderfolgenden Punkten vorkommt. Man bezeichnet nun Punkte X i (i=0, 1,..., 6; X0=X6) mit der durch die Indizierung angegebenen zyklischen Anordnung, für welche — wie eben bei den Punkten der Thomsen-Bedingung festgestellt — x(X i-1 , X i , X k ) für i=1,...,6 und i-1≠ki unmöglich ist, zusammen mit den Geraden ξ i =Xi-X i (i=1,...,6) als ein Sechseck. Versieht man dabei auch die ξ i mit der durch die Indizierung und die Festsetzung ξ06 beschriebenen zyklischen Anordnung, so ist dieser Begriff offensichtlich selbstdual, d.h. ein Sechseck ist zugleich Sechseck in der dualen Ebene.

Preview

Unable to display preview. Download preview PDF.

Unable to display preview. Download preview PDF.

Copyright information

© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1975

Authors and Affiliations

  • Günter Pickert
    • 1
  1. 1.Mathematisches InstitutJustus Liebig-Universität GießenGermany

Personalised recommendations